Презентация по геометрии на тему Пирамида в прикладных задачах

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 Методическое пособие для учащихся 10 классов Составил учитель математики первой категории Гавинская Елена Вячеславовна. г.Калининград 2015-2016 учебный год

Пирамиду Евклид определяет как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся в одной точке (вершине). Герон предложил следующее определение пирамиды: это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке, и основанием которой служит многоугольник. Тейлор определил пирамиду как многогранник, у которого все грани, кроме одной, сходятся в одной точке.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Евклид ( IV-III в. до н.э.). Перу Евклида принадлежит величайший математический труд – «Начала», в 13 книгах которого дано строгое и логическое изложение всего геометрического материала, известного до него и дополненного им самим. Изложение – дедуктивное, опирающееся на аксиомы и постулаты. Первые четыре книги посвящены планиметрии, пятая – теории пропорции, шестая – подобию фигур, седьмая, восьмая и девятая – теории чисел, десятая – соизмеримым и несоизмеримым количествам, оставшиеся три книги – основным теоремам стереометрии, метрическим соотношениям для пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, сферы, правильным многогранникам. Ни одна научная книга не пользовалась таким большим и длительным успехом. С 1482 года «Начала» Евклида публиковались более чем в 500 изданиях на многих языках мира. Евклиду принадлежат также такие труды как, «Деление фигур», «О ложных заключениях».

Герон Александрийский (I в.). Герон Александрийский написал ряд работ, явившихся энциклопедией античной прикладной математики. Он вывел формулы для приближенного и точного измерения различных геометрических фигур, включая известную формулу площади треугольника по сторонам, указал правила численного решения квадратных уравнений и приближенного извлечения квадратных и кубических корней. Сочинения Герона пользовались большим успехом в течение многих столетий.

Брук Тейлор (1685-1731). Брук Тейлор в трактате «Прямой и обратный метод приращений» дал общую формулу разложения функции в степенной ряд (формулу Тейлора). Он разрабатывал теорию конечных разностей, а также автор ряда работ о перспективе. Член Лондонского королевского общества (1712) и его ученый секретарь (с 1724). Именем Тейлора названы степенной ряд.

Большое каменное сооружение такой формы – гробница фараона. Египетские пирамиды. Группа предметов, сложенных в виде сужающегося кверху многогранника или конусообразно. Ружья в пирамиде (составленные друг с другом наклонно штыками вверх). Гимнастическая или акробатическая фигура - несколько акробатов, гимнастов, стоящих друг на друге. Станок для хранения винтовок (спец.). Негеометрические определения пирамиды.

Основное определение пирамиды. Многогранник, составленный из n-угольника А1А2A3…Аn и n треугольников с общей вершиной, называется пирамидой. Пирамиду с основанием А1А2…Аn и вершиной Р обозначают : РА1А2…Аn и называют n-угольной пирамидой.

Многоугольник А1А2А3…Аn называется основанием, а треугольники- боковыми гранями пирамиды. Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА1,РА2,…,РАn – ее боковыми ребрами. Элементы пирамиды. Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.

Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее боковых граней. Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней, т.е. сумма площадей ее основания и боковых граней. Sполн. = Sоснов + Sбок Площадь пирамиды.

Объем пирамиды. «Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту».

Определение. Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром ее основания, является высотой данной пирамиды. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Свойства правильной пирамиды. Все боковые ребра правильной пирамиды равны. Боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками. Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу. Двугранные углы при основании равны. Двугранные углы при боковых ребрах равны. Каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания. Каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней. 8. Sбок = ½ ∙ Росн ∙ d, где d - апофема

Возьмем произвольную пирамиду PA1A2…An и проведем секущую плоскость β||α основания пирамиды и пересекающую боковые ребра в точках B1,B2,…,Bn. Плоскость β разбивает пирамиду на 2 многогранника. Многогранник, гранями которого являются n–угольники A1A2…An и B1B2…Bn(нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и n четырехугольников A1A2B2B1, A2A3B3B2, …, AnA1B1Bn(боковые грани), называется усеченной пирамидой. Определение.

Определение. Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. Sбок. = SАА1В1В + SВВ1С1С + SСС1D1D + SАА1D1D

Определение. Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания. Основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции. (МНК) || , АСНМ,АМКВ,ВСНК – равнобедренные трапеции, т.е. АМ=КВ=НС Высоты боковых граней правильной усеченной пирамиды называются апофемами.

«Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему». Sбок. пр. пир. = ½∙(Росн1+Росн2 ) ∙d

Объем V усеченной пирамиды, высота которой равна h, а площади оснований равны S и S1, вычисляется по формуле

Задача №1. Сколько литров воды вмещает яма, вырытая в виде усеченной пирамиды, если глубина ямы 1,5м, сторона нижнего квадратного основания 0,8м, а верхнего – 1,2м?

Геометрическая интерпретация задачи №1. Найдите объем (в литрах ) усеченной пирамиды, если ее высота равна 1,5м, сторона нижнего квадратного основания 0,8м , а верхнего – 1,2м.

Дано: ABCDA1B1C1D1 – усеченная пирамида, h=1,5м, ABCD и A1B1C1D1 – квадраты, АВ=0,8м, А1В1=1,2м Найти: Vус. пир.

1)SABCD = AB 2 SABCD = 0,8 2 = 0,64 (м2) 2)SA1B1C1D1 = A1B12 SA1B1C1D1 = 1,22 = 1,44 (м2) Решение:

Задача №2. Гранитная подставка имеет вид усеченной пирамиды высотой в 3,6м и с квадратными основаниями. Стороны оснований: а=2,8м и b=2м. Найти вес подставки, если удельный вес гранита 2,5∙10³кг/м³.

Геометрическая интерпретация задачи №2. В усеченной пирамиде в основаниях лежат квадраты со сторонами а=2м и b=2,8м. Найти вес подставки, если удельный вес гранита 2,5∙10³кг/м³.

Дано: АВСDА1В1С1D1 – усеченная пирамида, АВСD и А1В1С1D1 – квадраты, АВ=2 м,А1В1=2,8 м, ОН – высота пирамиды, ОН=3,6м, =2,5 ∙10³кг/м³ Найти: Р

Решение:

Задача №3. Крыша имеет форму пирамиды с квадратным основанием 4,5м × 4,5м и углом наклона грани к основанию в 45˚. Сколько листов железа размером 70см × 140см нужно для покрытия крыши, если на отходы нужно добавить 10% площади крыши?

Геометрическая интерпретация задачи №3. Пирамиду, в основании которой лежит квадрат со стороной равной 4,5м, покрыли листами железа размером 70см × 140см. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45˚. Найти площадь поверхности, покрытой листами железа, если известно, что на отходы приходится 10% боковой площади поверхности пирамиды.

Дано: SABCD – правильная четырехугольная пирамида, AB=BC=4,5м, SCO = 45˚, SК - высота ∆СSD, т.е. SКСD, размеры листа: 70см × 140см, отходы: 10%·Sбок Найти: N (количество листов).

10) Sотх = Sбок ∙0, 1=35∙0, 1 =3,5 (м²) 11) Sл =0, 7∙1, 4 =0, 98 (м²) 12) N = (35 + 3,5) :0, 98 ≈ 40 Ответ: 40 листов

Задача №4. Кровельная конструкция в форме правильной четырехугольной пирамиды покрыта металл черепицей. Размеры одной черепицы 35см  20см. Сторона основания состоит из 29 черепиц, а апофема – из 13 черепиц. Сколько квадратных метров черепицы потребуется, чтобы закрыть эту крышу?

Геометрическая интерпретация задачи №4. Строительная фирма получила заказ на покрытие каркаса правильной четырехугольной пирамиды металл черепицей. После окончания работы оказалось, что на стороне основания пирамиды поместилось 29 черепиц, а на апофеме – 13 черепиц. Какую площадь поверхности строители покрыли металл черепицей, если размеры одной черепицы 35см  20см?

Дано: РАВСD – правильная пирамида, АВСD – квадрат, РК – апофема: РКВС, черепица: а=35см, b=20см, на АВ - 29 черепиц, на РК – 13 черепиц. Найти: Sбок.пов.

АВ = 29 ∙ 20 = 580 (см) = 5,8 (м) Росн. = 4∙АВ Росн. = 4∙5,8 = 23,2 (м)

3) РК = 13 ∙ 35 = 455 (см)= 4,55 (м) 4) Sбок.пов. = ½ ∙ Росн. ∙ РК Sбок.пов. = ½ ∙ 23,2 ∙ 4,55 = 52,78 (м²) Ответ: 52,78 м²

Задача №5. Компания «Сладость в радость» представляет новый продукт! Вафельная пирамида, покрытая вкуснейшим молочным шоколадом с разнообразными начинками внутри… Кроме того, внутри вас ожидает сюрприз – пирамидка из марципана, нежнейший крем, а также сироп с кусочками фруктов…Ммм… Но нужно рассчитать, сколько же нам понадобится : вафель на основу (площадь полной поверхности пирамиды), марципана (объём маленькой пирамиды), крема (объём верхней пирамидки), сиропа (оставшейся объём). шоколада (Sполн ∙0,3см).

Геометрическая интерпретация задачи №5. Дана пирамида PABCD, стороны основания которой равны 4 см, а боковые рёбра – 5см. Точки K, L, M и N соответственно делят боковые рёбра пирамиды PA, PB, PC и PD, считая от вершины пирамиды в отношении 2:3. Сечение KLMN параллельно основанию ABCD. Угол между боковыми гранями пирамиды PABCD и её основанием равен 45о, высота пирамиды РО пересекает сечение KLMN в точке Q. Найти площадь полной поверхности пирамиды, объём OKLMN, PKLMN и оставшейся.

Рисунок к задаче.

Дано: PABCD – правильная пирамида: PA=PB=PC=PD=5 см, AB=BC=CD=AD=4 см, KLMN – сечение, параллельное основанию, т.е. (KLM)║(ABC), PO – высота PABCD. РО∩(KLM)=Q, PK:KA=PL:LB=PM:MC=РN:ND=2:3, ∠РАВО= ∠РВСО=∠PCDO=∠PADO=45o,

Найти: S полн. PABCD , V OKLMN , V PKLMN , V оставшейся

Решение: 1. Т.к. (KLM)║(ABC) (по условию), (KLM)∩(АВР)=KL и (АВР)∩(АВС)=АВ, то по свойству параллельных плоскостей KL║AB. 2. Т.к. (KLM)║(ABC) (по условию), (KLM)∩(CВР)=LM и (CВР)∩(АВС)=ВC, то по свойству параллельных плоскостей LM║BC. 3. Т.к. (KLM)║(ABC) (по условию), (KLM)∩(РCD)=MN и (РCD)∩(АВС)=CD, то по свойству параллельных плоскостей MN║CD.

4. Т.к. (KLM)║(ABC) (по условию), (KLM)∩(РAD)=KN и (РAD)∩(АВС)=AD, то по свойству параллельных плоскостей KN║AD. 5. Т.к. по условию, РABCD - правильная пирамида, то по свойству ABCD - квадрат, т.е. АВ║CD и BC║AD (по определению).

6. Т.к. KL║AB и AB║CD (доказали), то по теореме транзитивности KL║CD. Но MN║CD (доказали). Значит, KL║MN. 7. Т.к. LM║BC и BC║AD (доказали), то по теореме транзитивности LM║AD Но KN║AD (доказали). Значит, LM║KN. Итак, KLMN – параллелограмм.

10. В РНА по теореме Пифагора АР2+АН2=РН2 Значит, РН = √АР2+АН2 , PH= √52+22= √25+4= √29 ≈5,385(см)

11. Т.к. РО -высота пирамиды(по условию), то по определению РО ⊥(ABC). PН – наклонная к (АВС) ОН – её проекция на (АВС) РН ⊥АВ (по построению) АВ с (АВС) ОН ∩ АВ = Н ОН ⊥АВ (по теореме о трёх перпендикулярах). Но РН ⊥АВ (по построению) РН с (АВР) ОН с (АВС) ∠РНО – линейный для ∠РАВН, т.е. ∠РНО=45.o

12.Т.к. РО – высота пирамиды(по условию), то по определению РО ⊥(АВС), т.е. по определению РО ⊥ОН. Значит, в прямоугольном ∆РНО : sinPHO=PO/PH sin45o=PO/PH PO=PH∙sin45o PO=5,385∙0,707≈3,807(см) 13.Т.к. PABCD – правильная пирамида (по условию), то S полн. PABCD = Sбок + SABCD=0,5 PABCD ∙PH + AB2 , S полн. PABCD = =0,5∙4∙4∙5,385+42=43,08+16=59,08 (см2)

14. Vоставшейся = VPABCD - (VPKLMN+VOKLMN) 15. VPABCD=1/3 ∙ SABCD ∙PO VPABCD=1/3 ∙ 42 ∙ 3,807=1/3 ∙ 16 ∙3,807≈20,304(см3) 16. KL║AB (доказали), AP∩KL=K ∠PKL=∠PAB (как соответственные) AP∩AB=A Но ∠APB – общий для ∆PAB и ∆KPL ∆PAB ~ ∆KPL (по 2 углам). Значит, РA:РК = AB:KL. Но АB = 4 см и РА:РК = 5:2, KL=2∙4/5=1,6 (см).

17. LM║BC (доказали), BP∩LM=M, BP∩BC=B Значит, ∠PLM= ∠PBC (как соответственные) . Но ∠CPB – общий для ∆PBC и ∆PLM. Значит, ∆PBC ~ ∆PLM (по2 углам). Значит, РB:РL = BC:LM Но CB = 4 см и РB:РL = 5:2, LM=2∙4/5=1,6 (см) Ho KL=1,6 cm (нашли) KL=LM=1,6 cm.

18. KL c (APB), AB c (APB), LM c (PBC), BC c (PBC) KL║AB(доказали) и LM║BC (доказали) Значит, ∠KLM= ∠ABC (как углы с соответственно сонаправленными сторонами). Но ∠ABC=900 (т.к. ABCD - квадрат), значит, ∠KLM = 900 . 19. KLMN – параллелограмм (доказали), KL=LM (доказали), ∠KLM = 900 (доказали). Значит, KLMN – квадрат.

20. SKLMN = KL2 SKLMN = 1,62 = 2,56 (cм2 ) 21.Т.к. РО – высота пирамиды(по условию), то по определению РО ⊥(АВС), т.е. по определению РО⊥ОA, т.е. ∠POA=900. 22. PO⊥(ABC) (как высота пирамиды) РО∩(KLM) = Q, PO ⊥(KLM) (по свойству параллельных плоскостей), (KLM)║(ABC) (по условию). Значит, РО⊥KQ, т.е. ∠PQK=900. Но ∠POA=900(доказали), ∠POA=∠PQK=900. Ho ∠APO – общий, значит, ∆PAO ~ ∆KPQ (по 2 углам). Значит, РA:РК = PO:PQ . Но PO = 3,807 см и РА:РК = 5:2, PQ=2∙3,807/5=1,5228 (см)

23. OQ = PO-PQ OQ = 3,807 – 1,5228 = 2,2842 (см) 24. VPKLMN=1/3 SKLNN ∙ PQ VPKLMN=1/3 ∙2,56 ∙ 1,5228 ≈ 1,898 (cм3) 25. VQKLMN=1/3 SKLNN ∙ OQ VQKLMN=1/3 ∙ 2,56 ∙ 2,2842 ≈ 1,949 (cм3) 26. Vоставшейся=VPABCD-(VPKLMN+VOKLMN) Vоставшейся=20,304-(1,898+1,949) =16,457 (cм3) 27. 59,07∙0.3= 17,721 (cм3)

Ответ. Итак, нам понадобится : вафель на основу (площадь полной поверхности пирамиды) 59,07 см2, марципана (объём маленькой пирамиды) 1,949 cм3, крема (объём верхней пирамидки) 1,898 cм3, сиропа (оставшейся объём) 16.457cм3, шоколада (Sполн ∙0,3см) 17.721 cм3.