Подготовка к ГИА 9 класс. Геометрия

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, значит NC=CM, то есть треугольник MCN-равнобедренный. А в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно углы MNC и NMC равны. А так как сумма углов треугольника равна 1800, то: Решение: Диагонали прямоугольника KMNP пересекаются в точке С.Найдите угол MNC, если угол MCN равен 460 . 1 Ответ: 670

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Решение: Через точку А окружности с центром О проведена касательная АВ. Найдите радиус окружности, если ОВ=8,угол АОВ равен 600 . -так как сумма острых углов треугольника равна 900 . -так как катет, лежащий напротив угла в 300 равен половине гипотенузы. 2 Ответ: 4 300

3 Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 1400. Найдите угол между боковыми сторонами этого треугольника. Решение: Углы BCA и BCD-смежные, а сумма смежных углов равна 1800. -как углы при основании равнобедренного треугольника. -так как сумма углов треугольника равна 1800. Ответ: 1000 400 400

1).Из , , по теореме Пифагора: Используя данные, указанные на рисунке, найдите высоту CH. -в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Решение: Ответ:7,2 4 9 12 2).

5 Длина окружности равна .Найдите радиус этой окружности. Ответ:14,5 Решение.

Используя данные, указанные на рисунке, найдите АС, если известно, что АВ||CD. 6 - как накрест лежащие, при параллельных прямых АВ и CD и секущих AC и BD). Решение. Ответ:25 Из подобия следует: , АС=АО+ОС=10+15=25 -по двум углам,

3).Из , , по теореме Пифагора: Найдите боковую сторону равнобедренной трапеции, если её основания равны 9 и 19,а высота равна 12. 1). Построим высоты BH и BN, получим прямоугольник HBCN. Решение. 5 Ответ:13 7 5 9 2). В нём HN=BC=9. Из равенства следует: - по гипотенузе и острому углу.

В АВ=ВК , как углы при основании равнобедренного треугольника. В параллелограмме ABCD на стороне ВС отмечена точка К так, что ВК=АВ. Найдите , если -как накрестлежащие, при параллельных прямых AD и ВС и секущей АК. Решение. 2). 8 200 1). -так как в параллелограмме противоположные углы равны. 3). Ответ: 400 200 200

В равностороннем треугольнике все углы по 600. 9 Сторона равностороннего треугольника MLN равна 6см. Найдите скалярное произведение векторов и . Ответ: 18 Решение.

А1А5-сторона правильного треугольника, вписанного в окружность. Найдем её по формуле: Радиус окружности ,описанной около правильного двенадцатиугольника А1А2А3А4А5А6А7А8А9А10А11А12 равен . Найдите длину диагонали A1A5. 10 Ответ: 15 Решение.

А Имеется лист фанеры прямоугольной формы, длина и ширина которого соответственно равны 10дм и 5дм.Из него, как показано на рисунке, вырезаны две одинаковые части в форме равнобедренных треугольников. Сколько кг краски потребуется , чтобы покрасить получившуюся фигуру, если длина отрезка АВ =6дм, а на 1дм2 поверхности расходуется 0,012 кг краски? D С В С1 D1 11

Площадь фигуры равна сумме площадей двух равных трапеций ABCD и ABC1D1.. Высота каждой трапеции h=5:2=2,5.. D С В С1 D1 Решение. 10 6 5 Sфигуры=20+20=40(дм2) (кг)-потребуется краски. А Ответ:0,48кг 1). 2). 3). 4).

Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны. 1). Все углы ромба -острые. 2).Все высоты ромба равны. 3).Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. 4). Радиус окружности, вписанной в ромб, равен стороне этого ромба. 5). В ромбе с углом 600 одна из диагоналей равна его стороне. 12

- так как и односторонние при AD||BC и секущей АВ. Если угол 2- острый, то угол 1 будет тупой. 1). «Все углы ромба - острые» -не верно. Доказательство. А D С В

3). «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны» - верно, по свойству диагоналей ромба. А D С В AC BD

2). «Все высоты ромба равны»- верно. Доказательство. -по гипотенузе и острому углу (АВ=ВС, т.к. в ромбе все стороны равны, , т.к. в ромбе противоположные углы равны.) Из равенства треугольников следует, что ВН=ВN,так как они лежат напротив равных углов А и С.

4). «Радиус окружности, вписанной в ромб, равен стороне этого ромба»– не верно. Доказательство. Центр окружности, вписанной в ромб, лежит в точке пересечения диагоналей. Из точки О построим перпендикуляр ОК к стороне АD. ОК- радиус вписанной в ромб окружности. ОК<,OD,так как перпендикуляр-это кратчайшее расстояние от точки до прямой. OD<,AD , так как в прямоугольном треугольнике катет всегда меньше гипотенузы. ( AOD) Следовательно ОК<,AD.

5). «В ромбе с углом 600 одна из диагоналей равна его стороне» - (верно) Сумма углов треугольника равна 1800 градусов, значит: А D C B 600 1 2 АВ=ВС, значит: В треугольнике АВС все углы по 600, значит он равносторонний и АС=АВ=СВ. - так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Доказательство.

BPи DK- высоты параллелограмма ABCD, проведенные из вершины тупых углов, причем точка Р лежит между точками В и С. Отрезки ВР и DК пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники СКD и СРВ подобны, а углы КОВ и ВСD равны. 13

-по двум углам, -общий, так как DK и BP-высоты. , (по 1-му признаку подобия).

,так как отрезки ОК и ОВ лежат на высотах DK и ВР ,так как , если стороны одного угла перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы равны.

В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус этой окружности, если АМ=10 и ВМ=15. 10 15 15 15 15 10 14

2). АВ=АМ+ВМ=10+15=25 3).АС= АВ=25, как боковые стороны равнобедренного треугольника. 15 10 10 15 1). Пусть окружность касается сторон треугольника в точках М,Н и N, тогда АМ= АN=10, ВМ=ВН=15, как отрезки касательных, проведенных из одной точки. 4). NС=АС-АN=25-10=15 15 15 5). НС=NС=15 -как отрезки касательных, проведенных из одной точки. Решение.

5).В . По теореме Пифагора АВ2=АН2+ВН2 6).ВС=ВН+НС=15+15=30 8).Р=АВ+АС+ВС=25+25+30=80 7).

Ответ: 7,5 9).

Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н, а медианы – в точке М. Точка К – середина МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что АВ=6,СН=3, ВАС=450. 15. 6 3

450 450 1).По условию, высоты пересекаются, значит точка Н их пересечения расположена внутри этого треугольника. В Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника треугольника равна 900. Значит: -так как напротив равных углов лежат равные стороны. 6 2). Решение. Доп. построение: Построим ММ1|| КК1||НН1.

Р 450 3). 3 450 В и 4). В (см. п.1) (см. п.1) 450 5).

Они – прямоугольные и имеют общий угол В, значит: - по двум углам. По свойству медианы: 6). Рассмотрим: и

Получили: КК1-средняя линия трапеции ММ1Н1Н Так как ММ1|| КК1||НН1 (по построению) и К – середина МН, то К1- середина М1Н1 (по теореме Фалеса). 7). 8). Ответ: 5,625