Презентация по алгебре и началам анализа Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений

Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений

Цели урока: повторить формулы для нахождения числа различных видов комбинаций: размещений, перестановок, сочетаний, научиться распознавать задачи на нахождение размещений, перестановок, сочетаний, решить простейшие комбинаторные задачи с помощью формул для нахождения числа размещений, перестановок, сочетаний.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

1. Найдите среднее арифметическое, размах и моду ряда чисел: а) 16, 22, 16, 13, 20, 15, б) -21, -33, -35, -19, -20, -22, в) -4, -6, 0, 4, 0, 6, 8, -12. 2. Какие способы наглядного представления статистической информации вам известны?

Перестановки Задача №1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Определение. Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположения. Число перестановок из n элементов обозначается . Для любого натурального числа n справедлива формула

Задача №2. Сколькими способами можно поставить на полке рядом 5 разных книг? Задача №3. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлены 6 приборов?

Размещения Задача №4. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Определение. Размещениями называются комбинации, составленные из n различных элементов по k элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число размещений из n элементов по k обозначают и вычисляют по формуле:

Задача №5. Учащиеся 5 класса изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 5 различных предметов? Решение: Любое расписание на один день, составленное из 5 различных предметов, отличается от другого либо предметами, либо порядком следования. Значит, речь идет о размещениях из10 по 5:

Сочетания Задача №6. Пусть имеются цифры 1,3,5. Из них нужно составить комбинации по 2 элемента, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.

Определение. Сочетаниями из данных n элементов по k называют любую группу из k этих элементов. Понятие сочетания не связано с расположением (порядком) элементов. Число сочетаний из n элементов по k обозначают и вычисляют по формуле:

Типичные задачи, в которых обычно путаются учащиеся Сколько рукопожатий получится, если здороваются 5 человек? {Вася, Петя} = {Петя, Вася} – одно и тоже. Значит, порядок неважен, значит это подмножество по два элемента из 5, значит это сочетание из пяти по два. Сколькими способами пять человек могут обменяться фотографиями? {Вася, Петя} ≠ {Петя, Вася} – разные обмены. Значит, порядок важен, значит это последовательность по два элемента из 5, значит это размещение из пяти по два.

Рассмотрим различные комбинаторные задачи. Задача №8. Составьте все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3,5,7,9. Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую из указанных цифр один раз? (12)

Задача №9. Сколькими способами может расположиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет? (24) Задача №10. Из 30 участников собрания необходимо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать? (870) Задача №11. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если есть материал 7 разных цветов? (210)

Задача №12. Сколькими способами 4 мужчины могут расположиться на четырехместной скамейке? (24) Задача №13. Курьер должен разнести пакеты в 7 разных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать? (5040) Задача №14. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге. (6)

Задача №15. В классе 7-м учащихся успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде? (21) Задача №16. В магазине “Филателия” продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора? (56) Задача №17. Ученикам дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг? (210)

Самостоятельная работа

Задание на дом № 1. Бригадир должен откомандировать на работу бригаду из 5 человек. Сколько бригад по 5 человек в каждой можно организовать из 12 человек? (3960) № 2. Группа учащихся из 30 человек решила обменяться фотографиями. Сколько всего фотографий необходимо было для этого? (870) № 3. Во время встречи 16 человек пожали друг другу руки. Сколько всего сделано рукопожатий? (120)