Презентация по математике на тему: Комбинаторика

Элементы комбинаторики ГБПОУ «Рузаевский политехнический техникум» Преподаватель математики Курочкина В.М.

Цель урока: Познакомить студентов с новым разделом математики- комбинаторикой.   Задачи урока: 1. Обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание материала. 2. Организовать работу студентов по применению знаний.   Тип урока: Изучение нового материала.   Оборудование: Компьютер, проектор и экран для демонстрации презентации.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Задача №1. Волк, коза и капуста Некий человек должен был перевезти в лодке через реку волка, козу и капусту. В лодке мог поместиться только один человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту, а в присутствии человека никто никого не ест. Как перевезти груз через реку?

В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающейся решением этих задач, называется комбинаторикой (от лат. combinare, которое означает «соединять, сочетать»). С комбинаторными задачами люди имели дело еще в глубокой древности, когда, например, они выбирали наилучшее расположение воинов во время охоты, придумывали узоры на одежде или посуде. Позже появились нарды, шахматы. Как ветвь математики комбинаторика возникла только в XVII в. В дальнейшем полем для приложения комбинаторных методов оказались биология, химия, физика. И, наконец, роль комбинаторики коренным образом изменилась с применением компьютеров: она превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки.

Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из раздела множеств. Типичной задачей комбинаторики является задача перечисления комбинаций, составленных из нескольких предметов.

Вспомним несколько примеров таких задач 1.Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде 3-х горизонтальных полос одинаковых по ширине и цвету: синий, красный и белый. Сколько стран могут испытать такую символику при условии, что у каждой страны свой отличный от других флаг? Будем искать решение с помощью дерева возможных вариантов.

Ответ : 6 комбинаций

2.Сколько чётных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9.   Составим таблицу: слева от 1 – го столбца поместим первые цифры искомых чисел, сверху – вторые цифры этих чисел (чётные цифры, тогда столбцов будет три).

Так в столбце перечислены все возможные варианты, следовательно, их столько же, сколько клеток в столбце, т.е. 15. Ответ: 15 чисел 0 2 4 1 10 12 14 2 20 22 24 4 40 42 44 5 50 52 54 9 90 92 94

3.На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их может кофеем, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать? Решим задачу, перебирая всевозможные варианты, путем кодирования вариантов завтрака Решение: КП КБ КПр КК СП СБ СПр СК К-рП К-рБ К-рПр К-рК Ответ: 12 вариантов.

Во всех задачах был осуществлён перебор всех возможных вариантов или комбинаций. Действительно при получении любой комбинации мы составляем её из отдельных элементов последовательно соединяя их друг с другом. С этой точки зрения: число – это комбинация цифр, слово – это комбинация букв, меню – это комбинация блюд. Во всех предложенных задачах для подсчёта числа комбинаций мы использовали простой способ подсчёта – прямое перечисление (опираясь на «дерево возможных вариантов», таблицу, кодирование). Но способ перебора возможных вариантов далеко не всегда применим, ведь количество комбинаций может исчисляться миллионами. Здесь на помощь приходят несколько замечательных комбинаторных правил, которые позволяют подсчитать количество комбинаций без их прямого перечисления.

Решая эти задачи, мы использовали так называемое комбинаторное правило умножения. Формулируем его в общем виде: Пусть имеется п элементов и требуется выбрать из них один за другим k элементов. Если первый элемент можно выбрать п1 способами, после чего второй элемент можно выбрать п2 способами из оставшихся, затем третий элемент можно выбрать п3 способами из оставшихся и т. д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению п1 · п2 · п2 · … · пk.

Мы рассмотрели примеры 3-х разных задач, но получили совершенно одинаковые решения, которые основаны на общем правиле умножения: Примени это правило к каждой из решённых задач. 1-я задача: выбор верхней полосы - из 3-х цветов, т.е. n1=3, средняя полоса – из 2-х цветов, т.е.n2=2, нижняя полоса – из 1-го цвета, т.е. n3=1.   n1 n2 n3 = 3 * 2 * 1 = 6 2-я задача: заметим, что в этой задаче задействованы два независимых исхода, поэтому m n = 5 *3 = 15

Решение задач : Задача 1: В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник — и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из первого и второго блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дере­во возможных вариантов.

Решение. Что бы указать все обеды из двух блюд, будем рассуждать так. Выберем одно блюдо (борщ) и будем добавлять к нему поочерёдно разные вторые блюда, получая пары: Б г, б к, б с, б п (4 пары). Теперь в качестве первого блюда выберем рассольник и будем добавлять к нему поочерёдно разные вторые блюда: Рг, р к, р с, р п (4 пары). Согласно правилу комбинаторного умножения всего обедов: 2*4=8. Построив дерево возможностей, получим 8 вариантов. Ответ: б г, б к, б с, б п, р г, р к, р с, р п., получим восемь разных обедов из двух блюд.

Задача 2. Стадион имеет четыре входа: А, В, С и D. Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой. Сколько таких способов?

Решение. Из условия ясно, что порядок выбора имеет значение: АВ означает, что посетитель вошёл через А и вышел через В, а ВА означает, что вошёл через В, а вышел через А. Чтобы перечислить все варианты выбора двух входов, будем придерживаться следующего правила. Выпишем обозначения всех входов в ряд: А, В, С, Д. Берём первый вход и дописываем к нему поочерёдно каждый из остальных входов, получаем 3 пары: А В, А С, А Д. Берём второй вход и дописываем к нему поочерёдно каждый из остальных входов, кроме него самого начиная с начала ряда, т. е. с первого входа: ВА, ВС, ВД. Выбирая третий, а затем четвёртый вход, получаем СА, СВ, СД, ДА, ДВ, ДС. Общее количество способов выбора: 4*3=12 (к каждому из 4 входов мы дописывали 3 других). Замечание. Подсчитать количество способов выбора, не составляя пары, можно по правилу произведения: первый выбор (через какой вход войти) можно сделать 4 способами (А, или В, или С, или Д), после этого второй выбор (через какой вход войти) можно сделать 3 способами ( любой вход, кроме того, через который вошли). Общее количество выбора равно 4*3=12. Ответ: 12 способов.

Задача 3. Составьте все возможные двузначные числа из указанных цифр, используя в записи числа каждую из них не более од­ного раза: а) 1, 6, 8,

Решение. а) Выбираем поочерёдно:16, 18, 61, 68, 81, 86. Всего 6 различных чисел

Задача 4. В шахматном турнире участвуют 9 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

Решение. Поскольку каждая пара участников играла между собой только один раз, порядок выбора не имеет значения (когда Иванов играл с Петровым, это то же самое, что Петров играл с Ивановым). Выбрать первого участника партии можно 9 способами, а второго- 8 оставшимися способами, по правилу произведения всего можно образовать 9*8=72 пары, но в это число каждая пара входит дважды: сначала Иванов-Петров, затем Петров- Иванов. Поскольку порядок выбора не имеет значения, то общее количество партий равно . Ответ: 36 партий.

Факториал 1•2•3•…•n = n! © Богомолова ОМ, учитель математики МОУ СОШ № 6 г.Шарьи * © Богомолова ОМ, учитель математики МОУ СОШ № 6 г.Шарьи

Факториал 4! = 1•2•3•4 = 24 Богомолова ОМ, учитель математики МОУ СОШ № 6 г.Шарьи * 3! = 1•2•3 = 6 6! = 1•2•3•4•5•6 = 720 Богомолова ОМ, учитель математики МОУ СОШ № 6 г.Шарьи

Главное свойство факториала (n+1)! = (n+1)•n! © Богомолова ОМ, учитель математики МОУ СОШ № 6 г.Шарьи * © Богомолова ОМ, учитель математики МОУ СОШ № 6 г.Шарьи

Следствие 1! = 1 0! = 1 © Богомолова ОМ, учитель математики МОУ СОШ № 6 г.Шарьи * © Богомолова ОМ, учитель математики МОУ СОШ № 6 г.Шарьи

Рассмотрим пример. Имеются три книги. Обозначим их буквами а, б, с. Эти книги нужно расставить на полке по разному. с б а

Перестановкой из n элементов называют каждое расположения этих элементов в определенном порядке. Обозначают Pn = n!

Задача №5 Сколькими способами 4 человека смогут разместиться на четырехместной скамейке?

Задача №6 Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из чисел 0,2,4,6?

Пусть имеются 4 шара и 3 пустых ячейки. Обозначили шары буквами a, b, c, d. В пустые ячейки можно по – разному разместить три шара из этого набора.

а b c а c b b а c c b d

abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc cab, cad, cba, cbd, cda, cdb dab, dac, dba, dbc, dca, dcb

Размещением из n элементов по k (k<,n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов. A

A = n*(n-1)(n-2)…(n-(k-1))

Ann =Pn=n!

Задача № 7 Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета?

Задача №8 На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколько существует способов размещения фотографий в свободные места? a) 4 фотографии, b) 6 фотографий.

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов Cnk=

Свойства сочетаний : 1. Cnk = Cn-1k + Cn-1k-1 2. Cnk = Cnn-k 3. Cnk + Cnk+1 = Cn+1k+1

Задача № 9 Из 15-ти членов туристической группу надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Задача №10 Из вазы с фруктами, где лежит 9 яблок и 6 груш, нужно выбрать 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами это можно сделать?

На плоскости даны 5 точек, никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести через эти точки? Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «конверт»? Найти: а) А86 _Р4, б) А57 -Р5 , в)

Савельев Л.Я. Комбинаторика и вероятность. -Новосибирск.:Наука, 1975.- 422 с. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей (для IX-XI кл.) - М.:Просвещение, 1990.-160 с. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса: учеб. пособие для шк. и кл. с углубл. изучением математики/ Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев – Мусатов, С.И. Шварцбурд.- М.: Просвещение, 1996.-288с. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков. Пособие для учителей. - М.:Просвещение, 1971.- 461 с. Ведёрников В.А., Сорокина М.М. Элементы высшей математики. Учебное пособие для студентов юридического факультета. - Брянск: Изд-во БГПУ, 1999.- 71 с. Колягин Ю.М. и др. Алгебра и начала анализа 11. - М.:Мнемозина, 2001. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ 11. - М.:Мнемозина, 2001. Математика в школе: Научно-методический журнал. №4, 2002, №6, 2003. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Элементы комбинаторики в школьном курсе алгебры. Статья в журнале «Математика в школе» №6, 2004. Ю.Н.Миндюк, Н.Г.Миндюк. Изучаем элементы статистики и теории вероятностей. Статья в журнале «Математика в школе» №5, 2004. Комбинаторика и вероятность. Учебное пособие для учащихся заочной математической школы при СПбГУ. СПБ., 1999, 2001.