Презентация к проектной работе

1.Красота чисел в математике- фигурные числа Выполнил работу Кытманов Иван 8А Учитель : Зайцева Светлана Павловна

Цель: всестороннее изучение фигурных чисел, исследование группы центрированных шестиугольных чисел: получение первой тысячи значений, выдвижение и проверка гипотез о естественных связях данных чисел с классом простых чисел. Актуальность темы заключается в широких возможностях применения фигурных чисел: различные вычисления, сравнения величин, проектирование, компьютерная графика, построение сетей (логистических, сотовых и т.п.), составление различных головоломок. Также данная тема позволяет заглянуть за границы учебного материала по математике и познакомиться с особенной группой чисел, что может повысить интерес учащихся к математике. Объектом исследования являются специальные числа натурального ряда. Для достижения цели в работе решены следующие задачи: изучены различные литературные источники по данной теме, проведен всесторонний анализ всевозможных фигурных чисел: изучены свойства фигурных чисел, а также формулы, с помощью которых можно составлять различные фигуры, установлены связи между числами различного вида, показаны области применения фигурных чисел, проведен числовой эксперимент по изучению свойств центрированных шестиугольных чисел, выдвинуты и исследованы гипотезы о связи центрированных шестиугольных чисел с простыми числами. Методы решения поставленных задач следующие: Инструменты исследования: методы анализа, прикладной пакет MathCad 11. методы классификации, методы наблюдения, метод обобщения, методы индукции, числовой эксперимент, 2.Цель исследовательской работы

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

3. Определение и виды фигурных чисел Фигурное число – это число, представленное точками, которые расположены на одинаковой дистанции друг от друга. Если фигура, которую формируют эти точки, — пра­вильный многоугольник, то это уже многоу­гольное число.

4. Плоские числа

5.Выражения для вычисления многоугольных чисел Общая формула образования многоугольных чисел из­вестна с древности: Pr (n) = 1+(1+(r-2))+(1+(r-2))+…+(1+(r-2)(n-1)). Реккуррентная формула для r -угольного числа: Pr(n) = Pr(n-1)+(r-2)(n-1)+1, где r - тип числа (3 - треуголь­ное, 5 - пятиугольное и т.д.), n — натуральное число, чье значение мы хотим найти. Тип Имя Формула Порядок (n) r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 Треугольный ½ (1n ² + 1n) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 4 Квадрат ½ (2n ² - 0n) 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 5 Пятиугольный ½ (3n ² - 1n) 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 176 210 6 Шестиугольный ½ (4n ² - 2n) 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 231 276 7 Семиугольный ½ (5n ² - 3n) 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 286 342 8 Восьмиугольный ½ (6n ² - 4n) 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 341 408 9 Немучительный ½ (7n ² - 5n) 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325 396 474 10 Десятиугольный ½ (8n ² - 6n) 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 451 540 11 Hendecagonal ½ (9n ² - 7n) 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415 506 606 12 Dodecagonal ½ (10n ² - 8n) 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 561 672 13 Tridecagonal ½ (11n ² - 9n) 1 13 36 70 115 171 238 316 405 505 616 738 14 Tetradecagonal ½ (12n ² - 10n) 1 14 39 76 125 186 259 344 441 550 671 804 15 Pentadecagonal ½ (13n ² - 11n) 1 15 42 82 135 201 280 372 477 595 726 870 16 Hexadecagonal ½ (14n ² - 12n) 1 16 45 88 145 216 301 400 513 640 781 936 17 Heptadecagonal ½ (15n ² - 13n) 1 17 48 94 155 231 322 428 549 685 836 1002 18 Octadecagonal ½ (16n ² - 14n) 1 18 51 100 165 246 343 456 585 730 891 1068 19 Nonadecagonal ½ (17n ² - 15n) 1 19 54 106 175 261 364 484 621 775 946 1134 20 Icosagonal ½ (18n ² - 16n) 1 20 57 112 185 276 385 512 657 820 1001 1200 21 Icosihenagonal ½ (19n ² - 17n) 1 21 60 118 195 291 406 540 693 865 1056 1266 22 Icosidigonal ½ (20n ² - 18n) 1 22 63 124 205 306 427 568 729 910 1111 1332 23 Icositrigonal ½ (21n ² - 19n) 1 23 66 130 215 321 448 596 765 955 1166 1398 24 Icositetragonal ½ (22n ² - 20n) 1 24 69 136 225 336 469 624 801 1000 1221 1464 25 Icosipentagonal ½ (23n ² - 21n) 1 25 72 142 235 351 490 652 837 1045 1276 1530 26 Icosihexagonal ½ (24n ² - 22n) 1 26 75 148 245 366 511 680 873 1090 1331 1596 27 Icosiheptagonal ½ (25n ² - 23n) 1 27 78 154 255 381 532 708 909 1135 1386 1662 28 Icosioctagonal ½ (26n ² - 24n) 1 28 81 160 265 396 553 736 945 1180 1441 1728 29 Icosinonagonal ½ (27n ² - 25n) 1 29 84 166 275 411 574 764 981 1225 1496 1794 30 Triacontagonal ½ (28n ² - 26n) 1 30 87 172 285 426 595 792 1017 1270 1551 1860

Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский. Ферма, Паскаль, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие.   Диофант Александрийский нашел простую связь между треугольными Т и квадратными К числами: 8Т(n)+1=К(2n+1). 8Т+1=К   «Золотая» теорема Ферма (1654 г.): 1. Всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел (Гаусс,1796), 2. Всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел (Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов,1772), 3. Всякое натуральное число есть или пятиугольное, или сумма двух, трех, четырех или пяти пятиугольных чисел, 4. Всякое натуральное число может быть представлено в виде суммы не более чем k k-угольных чисел. Для проверки утверждений Ферма возьмем число 1000. 1. 1000 - это не треугольное число. Тогда возьмём треугольные числа 990 и 10: 990 + 10=1000. 2. 1000 – это не квадратное число. Тогда возьмём квадратные числа 900 и 100:900+100=1000. 3. 1000 – это не пятиугольное число. Тогда возьмём пятиугольные числа 925, 70 и 5: 925+70+5=1000. 6. Исследование многоугольных чисел: их свойства и теоремы.

Задача: 1+2+3+……+100=? Х Z X Z Z Z X Z Z Z X X + Z Z = X X + Z Z = X X Z Z X X X Z Z Z X X X Z X X X Z Т3 + Т3 = 3 * (3+1), Тn = n * (n+1) /2 18 июля 1796 года: Эврика! num=Δ+ Δ+ Δ 7. Карл Фридрих Гаусс 1+100=2+99=3+98=…50+51=101 101*50=5050   100*101=101000 101000/2 =5050

Несколько первых центрированных шестиугольных чисел: 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919. PN =3N2-3N+ 1 8. Исследование «Центрированные шестиугольные числа»

Гипотеза 1. Последовательность «сотовых» чисел PN включает в себя все простые числа. Гипотеза 2. Последовательность «сотовых» чисел PN состоит только из простых чисел. Гипотеза 3. Последовательность «сотовых» чисел PN содержит бесконечное множество простых чисел. Проверка гипотез Гипотеза 1. Так как в найденной последовательности чисел пропущено простое число 11, то первую гипотезу можно сразу опровергнуть: последовательность «сотовых» чисел PN не включает в себя все простые числа. Гипотеза 2. В последовательности пятое «сотовое» число P5=91, оно не является простым, следовательно, гипотеза о том, что, последовательность «сотовых» чисел PN состоит только из простых чисел, оказывается не верной. Гипотеза 3. Проверка первой тысячи чисел в исследуемой последовательности на количество простых чисел показала, что 265 их них оказались простыми, а остальные – составными. Следовательно, можно сделать вывод, что гипотезу 3 нельзя ни подтвердить, ни опровергнуть. 9.Гипотезы о центрированных шестиугольных числах «сотовых»

1. Используются для формирования практических навыков по математическому моделированию 10. Применение фигурных чисел

2.Позволяют научиться видеть любое число, которое считалось абстрактным.

3. Разработка программ построения объектов компьютерной графики.

4. Формулы многоугольных чисел используются в промышленности. Так, треугольные числа можно использовать для подсчета числа труб, уложенных в ярусы

5. Многоугольные телесные числа используются в различных головоломках. Например, есть задача, когда из одинаковых шаров, скрепленных в группы, необходимо составить четырехгранную пирамиду

Фигурные числа по праву считаются наиболее древними числами Фигурные числа - это числа, связанные с геометрическими построениями определенного типа Из фигурных чисел чаще всего рассматриваются многоугольные  числа, у которых есть определенные свойства и закономерности Из чисел одного вида можно получать числа другого вида. С помощью них можно выполнять определенные арифметические действия в «уме», становятся понятными фразы «возвести в квадрат, в куб». И, наконец, эти числа можно назвать красивыми! Выводы: В результате работы над данной темой я узнал, что значит фигурные числа, собрал и систематизировал материал. Всесторонне изучил их свойства и заметил некоторые закономерности, показал области применения фигурных чисел. Также с помощью числового эксперимента была исследована группа центрированных шестиугольных чисел: получена первая тысяча значений, выдвинута и проверена гипотеза о естественных связях данных чисел с классом простых чисел. 11.Заключение

Литература 1. Занимательные головоломки. 2. А.Д. Бендукидзе, Квант, №6, 1974г 3. Н.Я.Виленкин, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд, В.И.Жохов Математика, учебник 6 класса,  задача  № 249, 255 стр 4. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Математические фокусы и головоломки. – 5-е изд. – М.: Наука 1986.  5. Деза Е.И. Специальные числа натурального ряда. М.: Либроком, 2011. — 240 с. — ISBN 978-5-397-01750-3.  6. Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных чис­ лах / Пер. с древнегреч. И. Н. Веселовского, ред. и комментарии И. Г. Башмаковой. 2-е изд. М.: Издательство ЛKИ/URSS, 2007.  7. Огурцов А. РАЙОННАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ – ФЕСТИВАЛЬ ТВОРЧЕСТВА ОБУЧАЮЩИХСЯ «EXCELSIOR» Секция МАТЕМАТИКА Фигурные числа. МОУ « Аликовская СОШ им. И.Я.Яковлева», Аликово-2008.  8. Наука. Величайшие теории: выпуск 8: Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел./Пер.с исп.-М.:Де Агостини,2015.-168с.  9. Наука. Величайшие теории: выпуск 18: Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма./Пер.с исп.-М.:Де Агостини,2015.-160с. Литература