Презентация по математике Уравнения. Системы уравнений

Уравнения. Системы уравнений

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Корнем уравнения с одной переменной называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Определение Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида aх + b = с, где а, в, с – числа, х – переменная. Например: 3х + 8 = 0, 14 – 2х =9, – 4х = 10.

При решении уравнений с одной переменной используются следующие свойства: Раскрыть скобки, Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну часть уравнения, а числа без переменной – в другую часть. Упростить, привести подобные слагаемые. Найти корень уравнения.

-(а – в + с)=-1(а – в + с)=-а+в-с

Примеры решения уравнений 5х = 2х + 6, 5х – 2х = 6, 3х =6, х = 6 : 3, х = 2.

Проверочная работа. Карточки для самостоятельного решения.

Задания для самостоятельного решения Решить уравнение 1). 2х + 5 = 2 (- х + 1) + 11 2). 6у – 3(у – 1) = 4 + 5у 3). 4 ( х – 1) – 3 = - (х + 7) + 8 4). – 2(5 у – 9) + 2 = 15 + 7(- х + 2) 5). 12 + 4(х – 3) – 2х = (5 – 3х) + 9

Ответы 1) 2 2) - 0,5 3) 1,6 4) - 3 5) 2,8

Формула корней квадратного уравнения Решение квадратных уравнений ax2 + bx + с = 0, где а ≠ 0

Определение: Дискриминантом квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 называется выражение b2 – 4ac. Его обозначают буквой D, т.е. D= b2 – 4ac. ах2 + bх + с = 0. D= b2 – 4ac D = 0 D  0 D  0 Нет действительных корней

Решить уравнение 2x2- 5x + 2 = 0 Здесь a = 2, b = -5, c = 2. Имеем D = b2- 4ac = (-5)2- 422 = 9. Так как D >, 0, то уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле то есть x1 = 2 и x2 = 0,5 - корни заданного уравнения.

Решить уравнение 2x2- 3x + 5 = 0 Здесь a = 2, b = -3, c = 5. Найдем дискриминант D = b2- 4ac= = (-3)2- 4·2·5 = -31, т.к. D <, 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Решить уравнение x2- 2x + 1 = 0 Здесь a = 1, b = -2, c = 1. Получаем D = b2- 4ac = (-2)2- 4·1·1= 0, поскольку D=0 Получили один корень х = 1.

№1. Решите уравнения: а) х2+7х-44=0, б) 9у2+6у+1=0, в) –2t2+8t+2=0, г) а+3а2= -11. д) х2-10х-39=0, е) 4у2-4у+1=0, ж) –3t2-12t+6=0, 3) 4а2+5= а. №2. а)При каких значениях х равны значения многочленов: (1-3х)(х+1) и (х-1)(х+1)? Б)При каких значениях х равны значения многочленов: (2-х)(2х+1) и (х-2)(х+2)?

Биквадратные уравнения

Биквадратные уравнения Преобразовать исходное уравнение Записать новое уравнение Записать ответ Выполнить обратную подстановку и решить получившееся уравнение Выполнить замену Решить новое уравнение относительно t и проверить соответствие корней условию

Биквадратные уравнения

Дробно-рациональные уравнения

Определение Дробным рациональным уравнением называют уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями, причём хотя бы одно из них – дробным выражением. Например:

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений 1.Находим общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. 2.Умножаем обе части уравнения на этот знаменатель. 3.Решаем получившееся целое уравнение. 4.Исключаем из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель дробей. 5.Записываем ответ.

Решим уравнение: х-1 – общий знаменатель. Умножим обе части уравнения на х-1, получим 2(х-1)-(х+1)=0, 2х-2-х-1=0, х-3=0, х=3. Если х=3, то х-1=3-1=2≠0. Ответ:3

Дробно-рациональные уравнения Решите уравнение и сравните ответ Ответ:

Решим уравнение: Решение. (х+2)(х-3) – общий знаменатель. Умножим обе части уравнения на (х+2)(х-3), получим (х-1)(х-3)=(х-4)(х+2)- (х+2)(х-3), х²-х-3х+3=х²-4х+2х-8-х²-2х+3х+6, х²-3х+5=0, D=9-20<,0, корней нет. Ответ: корней нет

Решим уравнение х³-25х=0, х(х²-25)=0, х=0, х=±5. Если х=0, то х²+6х+5≠0, если х=-5, то х²+6х+5=0, если х=5,то х²+6х+5≠0. Ответ: 0,5.

Дробно-рациональные уравнения Решите уравнение и проверьте своё решение Решение. И Проверка. Ответ:

Решим уравнение Общий знаменатель: 4х(х+1)(х+2). Умножим обе части уравнения на 4х(х+1)(х+2), получим 4(х+2)+ 4х=х(х+1)(х+2), 4х+8+4х=х(х²+3х+2), 8х+8=х³+3х²+2х, х³+3х²-6х-8=0, (х³-8)+3х(х-2)=0, (х-2)(х²+2х+4)+3х(х-2)=0, (х-2)(х²+5х+4)=0, х-2=0 или х²+5х+4=0 х=2, D=25-16=9, х=(-5±3):2, х₁=-1, х₂=-4. Если х=2, то 4х(х+1)(х+2)≠0, если х=-1, то 4х(х+1)(х+2)=0, если х=-4, то 4х(х+1)(х+2)≠0. Ответ:2,-4.

Система уравнений и её решение Определение Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой (система уравнений –это конъюнкция нескольких уравнений) Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство (решение системы уравнений – это пересечение решений всех уравнений, входящих в систему) Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить, что их нет

Системы уравнений Графический способ Аналитический способ Метод подстановки Метод сложения Метод замены пере менной

Способ подстановки Ответ: (6, -1) Выразим х через у Подставим у и найдем х

Решение системы графическим способом y=10 - x y=x+2 Выразим у через х Построим график первого уравнения у=х+2 Построим график второго уравнения у=10 - х Ответ: (4, 6)

Способ сложения Ответ: (6, -1) Уравняем модули коэффициентов перед уравнением

Методы решения систем уравнений Метод подстановки a) x²=-y²-3xy-1, б) x²+y²+3xy =-1, в) x²+y²+3xy =-1, x+2y= 0, 2y=-x, x=-2y. x²+y²+3xy =-1, x+2y= 0, Какой из учеников применил метод подстановки наиболее рационально?

Методы решения систем уравнений Метод сложения x²-2y² =14, x²+2y²= 18, 2x² =32, + x² =16, x =4, Можно ли записывать ответ?

На рисунке изображена парабола и три прямые. Укажите систему уравнений, которая не имеет решений. у х 0

Сколько решений имеет система уравнений? у = - x2 + 9 x²+y²=81

y = x2 – 2x – 3, y = 1 – 2x, Ответ: (-2, 5) , (2, -3)

4. Решить красиво систему уравнений: 2х-у=2, 2x2 –ху=6. 2х-у=2, Х(2х-у)=6, 2х-у=2, 2х=6, Х=3, У=4. Решение.

Решение задач с помощью систем уравнений Решение задач с помощью систем уравнений

Задача 1 - ? - ?

В зоопарке г. Екатеринбурга живет много разных животных, среди них лисы и медведи. - ? - ? Всего 9 медведей <, На 5 >, На 3 - ? - ? Белый бурый Рыжая черная Всего 7 лисиц

В зоопарке г. Екатеринбурга живет много разных животных, среди них лисы и медведи. Всего 9 медведей <, На 5 >, На 3 Белый Бурый Рыжая Черная Всего 7 лисиц