Презентация по математике на тему Функция, ее область определения и множество значений. График функции

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ Государственное образовательное учреждение высшего образования Московской области «Государственный гуманитарно-технологический университет» Промышленно-экономический колледж Автор: Савинова Лариса Николаевна, преподаватель математики

Научиться вычислять частное значение функции, находить ее область определения и множество значений, строить график функции. Содействовать развитию математического мышления обучающихся. Побуждать студентов к преодолению трудностей в процессе  умственной деятельности. Развивать культуру устной математической речи, чувство самоконтроля. Знания и навыки студентов: знать понятие функции, правила нахождения области определения функции, уметь находить частное значение функции, ее область определения и множество значений, строить графики функций.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

При исследовании явлений окружающего мира и в практической деятельности нам приходится рассматривать величины различной природы: длину, площадь, объем, массу, температуру, время и другие. В зависимости от рассматриваемых условий одни из величин имеют постоянные числовые значения, у других эти значения переменные. Такие величины соответственно называются постоянными и переменными. Математика изучает зависимость между переменными в процессе их изменения. Например, при изменении радиуса круга меняется и его площадь, и мы рассматриваем вопрос об изменении площади круга в зависимости от изменения его радиуса. Математическим выражением взаимной связи реальных величин является идея функциональной зависимости. Понятие функции - важнейшее понятие математики

Слово “функция” (от латинского function – исполнение, осуществление) в математике впервые употреблено немецким математиком В.Г. Лейбницем. Пусть даны два непустых множества X и Y. Соответствие f , которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент называется функцией и записывается Говорят еще, что функция f отображает множество Х на множество Y.

Например, соответствия f и g, изображенные на рисунке 1 а и б, являются функциями, а на рисунке 1 в и г – нет, т.к. в случае в – не каждому элементу х соответствует элемент у, а в случае г – не соблюдается условие однозначности. Множество Х – область определения функции f – D(f), множество Y – множество значений функции f – Е( f ).

Если элементами множеств X и Y являются действительные числа, то функцию f называют числовой функцией . Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу число у, зависящее от х. Переменная х называется независимой переменной или аргументом, а у – зависимой переменной (от х) или функцией. Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости и пишут .

Частное значение функции при заданном частном значении аргумента х = а обозначают . Пример 1. Найти значение функции при х =3. Решение. Пример 2. Дано

Область определения функции – совокупность всех действительных значений аргумента х, при которых функция определена и выражается действительным числом. Обозначается: D( f )=Х. Множество чисел объединяют в множество Y и называют множеством значений функции, т.е. .

1. . Областью определения целой рациональной функции является множество всех действительных чисел. 2.

Функция считается заданной , если известна область определения функции и указано правило, по которому для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Существуют следующие способы задания функции: Аналитический – зависимость между аргументом х и функцией у задается в виде математической формулы или уравнения. Например, . Наиболее совершенный способ в математике, единственный недостаток – отсутствие наглядности.

Формулой S (r) = πr2 задается функция зависимости площади круга от радиуса. Функция ºF (ºC) определяет перевод температуры из градусов Цельсия в градусы Фаренгейта: Если деньги положены в банк под p процентов годовых, а сумма, положенная в банк изначально, равна  S0 , то через n лет в банке будет – функция от количества лет, на которые положены средства.  Эта формула сложных процентов. При равномерном движении скорость тела является функцией времени: s (t) = v · t. Функция x (t) = A cos (ωt + φ) задает гармонические колебания. Здесь A – амплитуда колебаний, ω – круговая частота, φ – начальная фаза. Функция называется формулой радиоактивного распада.

Табличный - значения аргумента и соответствующие им значения функции записаны в виде таблицы. Используется на практике для записи результатов наблюдений и измерений. Так, значения квадратов, кубов, логарифмов чисел, тригонометрических функций и т.д. находят с помощью математических таблиц. Например, изменение температуры тела больного в зависимости от времени приведены в таблице: Температура, °С 36,5 36,8 37,5 38,2 Время суток, час 10 12 14 16

Значения функции у, соответствующие значениям аргумента х, непосредственно находятся из этого графика. Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком - неточность. Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости .

Подмножество координатной плоскости является графиком какой-либо функции, если оно имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси OY. Например, множество, изображенное на рисунке слева не является графиком функции, так как оно содержит две точки с одной и той же абсциссой a, но разными ординатами b1 и b2. Графический способ задания зачастую удобен по сравнению с аналитическим, так как по графику сразу видно что из себя представляет функция и можно проанализировать ее поведение.

4. Словесный способ – состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами. Пример 1: функция E(x) — целая часть числа x, т.е. E(x) = [x] - наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r — целое число и q принадлежит интервалу [0, 1), то [x] = r. Функция E(x) = [x] постоянна на промежутке [r, r+1) и на нем [x] = r. Например, [2,534] = 2, [47] = 47, [-0,(23)] = -1. Очень своеобразно выглядит график функции у = [х]

Пример 2: функция y = {x} — дробная часть числа, т.е. y ={x} = x - [x], где [x] — целая часть числа x. Или {x} = r + q – r = q Основными недостатками словесного способа задания функции являются невозможность вычисления значений функции при произвольном значении аргумента и отсутствие наглядности. Главное преимущество же заключается в возможности задания тех функций, которые не удается выразить аналитически.

1. Указать область определения и область значений таблично заданной функции: 2. Построить график функции Вычислить f (-2), f (0,1), f (-3/4), f (3). х -2 -1 0 1 2 у 9 2 0 2 9

3. Сопоставить каждому графику функции формулу, с помощью которой эта функция задается