Презентация по геометрии на тему Понятие многогранника

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 Методическое пособие для учащихся 10– 11 классов «Понятие многогранника». Составил учитель математики первой категории Гавинская Елена Вячеславовна. г.Калининград 2015-2016 учебный год

Многогранники известны человеку еще с древних времен. Конечно, в то время их так еще не называли, но всё же. Египтяне строили свои пирамиды, греки – пантеоны. И все они даже не задумывались о том, что их постройки в примитиве есть не что иное, как простейшие многогранники. Уже намного позже люди поняли, что есть многогранники и как их применять. В наше же время многогранники прочно вошли в жизнь человека. Они видны повсюду: в архитектуре городов, дизайне мебели, формах автомобилей. Мы встречаем их повсеместно, а некоторые люди, например, архитекторы, строители, работают с многогранниками каждый день. Поэтому каждому человеку необходимо знать, что такое многогранники и как они применяются.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Многогранник – это часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами многогранника.

В определении многогранника последняя оговорка сделана для того, чтобы исключить из рассмотрения такие аномалии, как две пирамиды с общей вершиной. Теперь мы введем дополнительное ограничение множества допустимых многогранников, потребовав, чтобы никакие две грани не пересекались, как на рис. 1,е. Любой многогранник, удовлетворяющий этому требованию, делит пространство на две части, одна из которых конечна и называется «внутренней». Другая, оставшаяся часть, называется внешней.

Многогранник называется выпуклым, если ни один прямолинейный отрезок, соединяющий любые две его точки, не содержит точек, принадлежащих внешнему пространству. Многогранники на рис. 1а, 1б, 1в и 1д выпуклые, а пятиугольная призма на рис. 1г не выпуклая, так как, например, отрезок PQ содержит точки, лежащие во внешнем пространстве призмы.

Выпуклый многогранник называется правильным, если он удовлетворяет следующим двум условиям: все его грани – конгруэнтные правильные многоугольники , к каждой вершине примыкает одно и то же число граней . Если все грани – правильные p-угольники и q из них примыкают к каждой вершине, то такой правильный многогранник обозначается {p, q}. Это обозначение было предложено Л.Шлефли (1814–1895), швейцарским математиком, которому принадлежит немало изящных результатов в геометрии и математическом анализе.

Простейшим из правильных многогранников является правильный тетраэдр, гранями которого служат четыре равносторонних треугольника и к каждой из вершин примыкают по три грани. Тетраэдру соответствует запись {3, 3}. Это не что иное, как частный случай треугольной пирамиды. Наиболее известен из правильных многогранников куб (иногда называемый правильным гексаэдром) – прямая квадратная призма, все шесть граней которой – квадраты. Так как к каждой вершине примыкают по 3 квадрата, куб обозначается {4, 3}.

Если две конгруэнтные квадратные пирамиды с гранями, имеющими форму равносторонних треугольников, совместить основаниями, то получится многогранник, называемый правильным октаэдром. Он ограничен восемью равносторонними треугольниками, к каждой из вершин примыкают по четыре треугольника, и следовательно, ему соответствует запись {3, 4}.

Правильный октаэдр можно рассматривать и как частный случай прямой правильной треугольной антипризмы. Рассмотрим теперь прямую правильную пятиугольную антипризму, грани которой имеют форму равносторонних треугольников, и две правильные пятиугольные пирамиды, основания которых конгруэнтны основанию антипризмы, а грани имеют форму равносторонних треугольников. Если эти пирамиды присоединить к антипризме, совместив их основания, то получится еще один правильный многогранник. Двадцать его граней имеют форму равносторонних треугольников, к каждой вершине примыкают по пять граней. Такой многогранник называется правильным икосаэдром и обозначается {3, 5}.

Помимо четырех названных выше правильных многогранников, существует еще один – правильный додекаэдр, ограниченный двенадцатью пятиугольными гранями, к каждой его вершине примыкают по три грани, поэтому додекаэдр обозначается как {5, 3}.

Пять перечисленных выше правильных многогранников, часто называемых также «телами Платона», захватили воображение математиков, мистиков и философов древности более двух тысяч лет назад. Древние греки даже установили мистическое соответствие между тетраэдром, кубом, октаэдром и икосаэдром и четырьмя природными началами – огнем, землей, воздухом и водой. Что касается пятого правильного многогранника, додекаэдра, то они рассматривали его как форму Вселенной.

Эти идеи не являются одним лишь достоянием прошлого. И сейчас, спустя два тысячелетия, многих привлекает лежащее в их основе эстетическое начало. О том, что они не утратили свою притягательность и поныне, весьма убедительно свидетельствует картина испанского художника Сальвадора Дали Тайная вечеря. Древними греками исследовались также и многие геометрические свойства платоновых тел, с плодами их изысканий можно ознакомиться по 13-й книге Начал Евклида. Изучение платоновых тел и связанных с ними фигур продолжается и поныне.

И хотя основными мотивами современных исследований служат красота и симметрия, они имеют также и некоторое научное значение, особенно в кристаллографии. Кристаллы поваренной соли, тиоантимонида натрия и хромовых квасцов встречаются в природе в виде куба, тетраэдра и октаэдра соответственно. Икосаэдр и додекаэдр среди кристаллических форм не встречаются, но их можно наблюдать среди форм микроскопических морских организмов, известных под названием радиолярий.

Естественно спросить, существуют ли, кроме платоновых тел ,другие правильные многогранники ?Как показывают следующие простые соображения, ответ должен быть отрицательным. Пусть {p, q} – произвольный правильный многогранник. Так как его гранями служат правильные р-угольники, их внутренние углы, как нетрудно показать, равны (180 – 360/р) или 180 (1 – 2/р) градусам. Так как многогранник {p, q} выпуклый, сумма всех внутренних углов по граням, примыкающим к любой из его вершин, должна быть меньше 360 градусов. Но к каждой вершине примыкают q граней, поэтому должно выполняться неравенство:

Нетрудно видеть, что p и q должны быть больше 2. Подставляя в (1) р = 3, мы обнаруживаем, что единственными допустимыми значениями q в этом случае являются 3, 4 и 5, т.е. получаем многогранники {3, 3}, {3, 4} и {3, 5}. При р = 4 единственным допустимым значением q является 3, т.е. многогранник {4, 3}, при р = 5 неравенству (1) также удовлетворяет только q = 3, т.е. многогранник {5, 3}. При p >, 5 допустимых значений q не существует. Следовательно, других правильных многогранников, кроме тел Платона, не существует.

Все пять правильных многогранников перечислены в таблице, приведенной ниже. В трех последних столбцах указаны : N0 – число вершин, N1 – число ребер , N2 – число граней каждого многогранника.

Таблица правильных многогранников. Название Запись Шлефли N0 (число вершин) N1 (число ребер) N2 (число граней) N0-N1+N2(Формула Эйлера) Тетраэдр {3, 3} 4 6 4 2 Куб {4, 3} 6 12 8 2 Октаэдр {3, 4} 8 12 6 2 Икосаэдр {3, 5} 12 30 20 2 Додекаэдр {5, 3} 20 30 12 2

Рассматривая таблицу, можно заметить интересное соотношение между числом вершин N0, числом ребер N1 и числом граней N2 любого выпуклого правильного многогранника {p, q}. Речь идет о соотношении Для классификации других многогранников используется обобщенная формула Эйлера. Если у некоторого многогранника 16 вершин, 32 ребра и 16 граней, то его эйлерова характеристика равна 16 – 32 + 16 = 0. Это позволяет утверждать, что данный многогранник принадлежит классу многогранников, гомеоморфных тору. Отличительной особенностью этого класса является эйлерова характеристика, равная нулю. Формула Эйлера.Обобщенная формула Эйлера .

Более общо, пусть Р – многогранник с N0 вершинами, N1 ребрами и N2 гранями. Говорят, что данный многогранник гомеоморфен поверхности рода n в том и только в том случае, если Наконец, следует заметить, что ситуация существенно усложняется, если смягчить прежнее ограничение, согласно которому никакие две грани многогранника не должны пересекаться. Например, появляется возможность существования двух негомеоморфных многогранников с одной и той же эйлеровой характеристикой. Их следует различать по другим топологическим свойствам.

Особые многогранники и их свойства. Теперь рассмотрим отдельные виды многогранников поподробнее. Призма Многогранник, две грани которого – равные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммы, называется n-угольной призмой. Отрезок перпендикуляра к плоскостям оснований, концы которого принадлежат этим плоскостям, называется высотой призмы. Прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник, называется правильной призмой.

Площадь боковой поверхности призмы: Sбок=PП ∙|A1A2| (PП – периметр перпендикулярного сечения призмы, а |A1A2| - длина бокового ребра.) Площадь полной поверхности призмы: Sполн=Sбок+2Sосн, (где Sосн – площадь основания призмы). Объем призмы: Наклонная: V=SП ∙ |A1A2| (SП – площадь перпендикулярного сечения призмы.) 2. Прямая: V=Sосн ∙ H (Н – высота.)

Параллелепипед. Куб. Параллелепипедом называется призма, основаниями которой служат параллелограммы. Свойства параллелепипеда: 1. Середина диагонали параллелепипеда является его центром симметрии. 2. Противолежащие грани параллелепипеда попарно равны и параллельны. 3. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. Свойства прямоугольного параллелепипеда: 1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: d2=a2+b2+c2 2. Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Прямоугольный параллелепипед с равными измерениями называется кубом. Все грани куба – равные квадраты. Объем куба вычисляется по формуле V=a3, гда а – измерение куба.

Пирамида. Усеченная пирамида. Многогранник, одна из граней которого – произвольный многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие одну общую вершину, называется пирамидой.

Пирамида называется правильной, если основанием пирамиды является правильный многоугольник, а ортогональная проекция вершины на плоскость основания совпадает с центром многоугольника, лежащего в основании пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: S=(1/2) ∙ P ∙ h, где P – периметр основания пирамиды, а h – апофема. Объем пирамиды: V=(1/3) Sосн ∙ H, где Sосн – площадь основания пирамиды, а H – высота пирамиды.

Возьмем произвольную пирамиду. Через точку на одном из боковых ребер , не совпадающую с их концами, проведем плоскость, параллельную плоскости основания. Проведенная плоскость отсечет от заданной пирамиды некую меньшую по высоте пирамиду. Многогранник, вершинами которого служат вершины основания данной пирамиды и вершины основания отсекаемой пирамиды, называется усеченной пирамидой.

Усеченная пирамида называется правильной, если она является частью правильной пирамиды. Боковые грани такой пирамиды – равные равнобедренные трапеции.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды: S=(1/2) ∙ (P+p) ∙ h, где P и p – периметры нижнего и верхнего оснований соответственно, а h – апофема. Площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды: Sобщ=Sбок+S+s, где S и s – площади нижнего и верхнего оснований соответственно. Объем правильной усеченной пирамиды: V=(1/3) ∙ H ∙(S+(√S ∙ s)+s)

Сечения многогранников.

Сечение тетраэдра плоскостью (NPK) 5. Мы их соединяем и получаем многоугольник KNPD, который и будет сечением тетраэдра. 1. Найти две точки, лежащие в одной плоскости, т.е N и K и N и P и провести через них прямые. 2. Определить след от пересечения ребра многогранника с продолжением одной из полученных прямых в точке, которая окажется в одной плоскости с оставшейся точкой K. 3. Соединить точку K с полученным следом, например в точке О. Эта прямая в свою очередь пересекла одно из ребер многогранника, назовем эту точку пересечения D. 4. Теперь мы видим, что в одной плоскости оказались две точки D и P.

6. Соединив их, получаем многоугольник ANBCK, который является сечением параллелепипеда плоскостью (ABC). Построение сечения параллелепипеда плоскостью (ABC) Рассмотрим еще один многогранник, например, параллелепипед и построим в нем сечение, для этого произвольно отметим три точки A,B и C на разных ребрах. Начнем с того же: 1. Ищем две точки, лежащие в одной плоскости, т.е B и C и проводим через них прямую. 2. Теперь мы снова ищем ребро многогранника, при продолжении которого оно пересечет полученную прямую в точке, которая будет лежать в одной плоскости с оставшейся точкой A. 3. Соединим точку A с полученной точкой (1). Мы видим, что наша прямая пересекла одно из ребер, мы отмечаем эту точку N. 5. Для этого мы определяем ребро параллелепипеда, при продолжении которого оно пересечет одну из наших полученных прямых в точке (2), лежащей в одной плоскости с оставшейся точкой C. Мы соединяем точку C с точкой 2. А эта прямая пересекает ребро многогранника в точке K, лежащей в одной плоскости с точкой A. 4. Точка N находится в одной плоскости с точкой B, поэтому мы их соединяем. Остались две не соединенные точки A и C.

8. Получаем, что эта прямая пересекла ребро в точке, лежащей в одной плоскости с точками A и C. Пусть точка пересечения будет точкой P. Построив прямые AP и PC, получаем многоугольник ADBKCP- сечение пирамиды. Построение сечения пирамиды плоскостью (АВС) Теперь рассмотрим пирамиду и построим в ней сечение, не параллельное основанию. Отметим три точки A,B и C на разных ребрах многогранника. 1. В этом случае, в отличие от предыдущих, нет двух точек, лежащих в одной плоскости. Поэтому мы продолжаем те ребра пирамиды, которые содержат данные точки и которые пересекутся в точке, находящейся в одной плоскости с одной из этих двух точек. Получаем след 1 2. Соединим полученный след с данной точкой, т.е. с A. 3. Проведенная прямая пересекла еще одно ребро пирамиды в точке, которая оказалась в одной плоскости с данной точкой B. Назовем ее точка D. Следовательно, мы имеем право провести через них прямую. 4. Теперь продолжаем ребра двух граней пирамиды так, чтобы они пересеклись в точке, которая окажется в одной плоскости с какой-нибудь данной точкой. Получим след 2. 5. Снова соединяем полученный след с данной точкой B. 7. Если внимательно посмотреть, то видно, что след 2 оказался в одной плоскости с точкой A, следовательно, через них можем тоже провести прямую. 6. Построенная прямая пересекла ребро пирамиды в точке, лежащей в одной плоскости с точками B и C. Назовем ее точка K.