Обобщающее повторение по теме: «Применение производной к исследованию функций»

Филиал КОУ Ханты-Мансийского автономного округа – Югры «Специальная учебно – воспитательная школа №1» в ИК-15 г. Нижневартовска Обобщающее повторение по теме:«Применение производной к исследованию функций» Габитова Зиля Фаритовна учитель I квалификационной категории

«Знание, добытое без личного усилия, без личного напряжения, - знание мёртвое. Только пропущенное через собственную голову становится твоим достоянием» Профессор Нойгауз

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Цели урока: Образовательные: повторить и обобщить знания учащихся по теме “Применение производной”, систематизировать способы деятельности учащихся по применению производной к исследованию функций. Развивающие: развивать способности применять теоретические знания на практике, развивать логическое мышление, память, внимание, развивать навыки самоконтроля. Воспитательные: воспитывать ответственное отношение к изучению математики, трудолюбие, взаимопомощь, волю и настойчивость в достижении поставленной цели.

Повторение. Правила дифференцирования

1. У=х2-4х+2 у/=(х2-4х+2)/= (х2)/+(-4х+2)/=2х-4 2. У=х(2х+3) У/=(х(2х+3))/=( х)/ (2х+3) + х(2х+3)/ = =1(2х+3) +2х =2х+2х+3=4х+3 3. у=5х4 у/=5(х4)/=5*4х3=20х3 4.

Монотонность функций 1) Если f′(x) >, 0 внутри промежутка I, то функция f возрастает на этом промежутке. 2) Если f′(x) <, 0 внутри промежутка I, то функция f убывает на этом промежутке. 3) Если f′(x) = 0 внутри промежутка I, то функция f постоянна на этом промежутке. Примеры: 1о f(x) = 3x3 + 4x f ′(x) = 9x2 + 4 >, 0  f(x) возрастает при хR 2о f(x) = – 2x5 – 6x f ′(x) = – 10x4 – 6 <, 0  f(x) убывает при хR 3о f(x) = 12π f ′(x) = 0  f(x) постоянна при хR

Алгоритм исследования функции на монотонность 1о Дифференцируем функцию: f′(x). 2о Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0. 3о Решаем неравенства: f′(x) >, 0 и f′(x) <, 0. 4о Полученные данные изображаем на схеме: 5o a) Промежутки возрастания: (– ∞, х1], [x2, x3]. б) Промежутки убывания: [x1, x2], [x3, + ∞). f′(x) x2 f(x) – + x + – x1 x3

Исследовать функцию на монотонность – это значит выяснить, на каких промежутках области определения функция возрастает, на каких – уывает. Пример 1. Исследовать функцию у = 2х3 + 3х2 – 1 на монотонность . 1. Найдем производную данной функции. уꞌ = 6х2 + 6х 2. Найдем нули производной. 6х2 + 6х = 0, 6х(х+1)=0, 6х=0 или х+1=0, х=0 или х=-1. 3. Нанесем их на числовую прямую. х 0 -1 4. Найдем знак производной на каждом промежутке. уꞌ(-2) = 6(-2)2 + 6(-2)=12>,0, уꞌ(1) = 6*12 + + 6*1=12>,0, уꞌ(-0,5) = 6(-0,5)2 + 6(-0,5)= -1,5<,0 + – + 5. Определим поведение функции на каждом промежутке. Функция возрастает на промежутках и . Функция убывает на промежутке . уꞌ у В точках х = - 1, х = 0 меняется монотонность функции. Касательная к графику функции в этих точках параллельна оси Ох. Производная в этих точках равна нулю.

xo Максимум функции Точка хо называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки хо, что для всех х ≠ хо из этой окрестности выполняется неравенство f(x)<, f(xo). Если в точке хо производная функции f(x) меняет знак с «+» на «–», то хо – точка максимума функции f(x). f′(x) f(x) + – x max f(xо) – максимум функции

f′(x) xo Минимум функции Точка хо называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки хо, что для всех х ≠ хо из этой окрестности выполняется неравенство f(x)>, f(xo). Если в точке хо производная функции f(x) меняет знак с «–» на «+», то хо – точка минимума функции f(x). f(x) – + x min f(xо) – минимум функции

Алгоритм исследования функции на экстремумы 1о Дифференцируем функцию: f′(x). 2о Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0. 3о Решаем неравенства: f′(x) >, 0 и f′(x) <, 0. 4о Полученные данные изображаем на схеме: 5o a) х1, x3 – точки максимума, x2 – точка минимума. б) f(x1), f(x3) – максимумы функции, f(x2) – минимум функции. f′(x) x2 f(x) – + x + – x1 x3

Решение: Находим область определения функции: D(y)=R. Находим производную: y’=(x2+2)’=2x. Приравниваем её к нулю: 2x=0, откуда x=0 – критическая точка. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: y’(-1)= =2*(-1)=-2<,0, y’(1)=2*1=2>,0. 5. x=0 – точка минимума. Найдём минимум функции ymin=у(0)=02+2=2. ymin=у(0)=2. Исследовать на экстремум функцию y=x2+2

Исследование функции, построение графика Находим область определения функции D(f) и множество ее значений Е(f). Определяем четность (нечетность), периодичность функции. Находим точки пересечения с осями координат из условий: (0, f(0)) и f(x)= 0. x01, x02, x03, … Находим промежутки знакопостоянства, решая неравенства f(x) >, 0 и f(x) <, 0. Дифференцируем функцию: f′(x). Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0.

Исследование функции, построение графика f′(x) x2 f(x) – + x + – x1 x3 Решаем неравенства: f′(x) >, 0 и f′(x) <, 0. Полученные данные изображаем на схеме: Указываем промежутки монотонности функции а) промежутки возрастания: (– ∞, х1], [x2, x3], б) промежутки убывания: [x1, x2], [x3, + ∞).

Исследование функции, построение графика Определяем точки экстремума и сами экстремумы функции: a) х1, x3 – точки максимума, x2 – точка минимума. б) f(x1), f(x3) – максимумы функции, f(x2) – минимум функции. Изображаем все полученные данные в системе координат, строим график функции y = f(x).

Образец выполнения работы Оформление работы учеником. Решение. а) , б) в) критические точки: - , 1. г) по результатам исследования составляем таблицу: д) строим график функции: 1 3 х у -5 -2 3 -7 х -3 1 у/(х) + 0 – 0 + у(х) - экстремум max min

Список литературы Алгебра и начала анализа.10-11 кл. Ш.А.Алимов Москва «Просвещение» 2013. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа Крамор В.С. Санкт- Петербург 1995. Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в средней школе: Сб.статей / сост. Е.Г.Глаголева, О.С. Ивашев-Мусатов. – М.: Просвещение, 1980. Интернет Ресурсы