Презентация по математике на тему Квадратные уравнения и способы их решения

ТЕМА: КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ.

Работу выполнила: Борозднова Алла Станиславовна, Учитель математики высшей квалификационной категории, МБОУ Носковская школа

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

СОДЕРЖАНИЕ: Определение квадратного уравнения. Примеры квадратных уравнений. Способы решения квадратных уравнений. Проверочный тест.

Определение квадратного уравнения Квадратным уравнением называется уравнение вида ах2+bх+с=0, где х - переменная, а, b, с – некоторые числа, а≠0. а – первый или старший коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член. Например: 5х2 +3х-9=0, а=5, b=3, с=-9. -4х2 +7х+10=0, а=-4, b=7, с=10. х 2 + 4x -12=0, а=1, b=4, с=-12.

Неполные квадратные уравнения: Если в квадратном уравнении ах2+bх+с=0 хотя бы один из коэффициентов b или с (а ≠ 0) равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением. Например: 5х2-2=0, а=5, b=0, с=-2. -3х2+7х=0, а=-3, b=7, с=0. 8х2=0, а=8, b=0, с=0.

Способы решения квадратных уравнений Через определение дискриминанта По теореме Виета

Алгоритм решения квадратного уравнения через дискриминант: ах2+bх+с=0 Определить коэффициенты а, b, с Вычислить дискриминант D = b2 - 4ас Если D <, 0, то Если D = 0, то Если D >, 0, то 2 корня 1 корень Уравнение не имеет корней X= _-b_ 2а Х1,2 = _- b ± √D_ 2а ↓

Примеры решения квадратных уравнений по формуле: Пример 1: 3x2 + 11x +6=0, а=3, b=11, с=6 Вычислим дискриминант: D=b2 – 4·а·c=112 – 4·3·6=121-72=49, D>,0 – уравнение имеет 2 корня, Х1,2 = -11 ±√49 = -11 ± 7 2·3 6 Х1 = - 11 – 7 = - 3 6 Х2 = - 11 + 7 = - 2 6 3

Примеры решения квадратных уравнений по формуле Пример 2: 9x2 -6x +1=0 а=9, b=-6, с=1 Вычислим дискриминант: D = b2 – 4·a·c=(-6)2 – 4·9·1= 36 – 36 = 0, D=0 – уравнение имеет 1 корень Х1 = - (-6) = 6 = 1 2 ·9 18 6

Примеры решения квадратных уравнений по формуле: Пример 3: -2x2 + 3x -5=0 а=-2, b=3, с=-5. Вычислим дискриминант: D = b2 – 4·a·c=32 – 4·(-2)·(-5)= 9 - 40= - 31, D<,0 – уравнение не имеет корней

Теорема Виета Пусть х1, х2 – корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. Тогда сумма корней равна, _ b а а произведение корней равно с а : т.е. х1 + х2 =_ b а х1 · х2 = с а

Теорема Виета (частный случай) Уравнение вида х 2 + px +q =0 называют приведённым. В этом уравнении старший коэффициент равен 1. для приведённого квадратного уравнения справедлива Теорема Виета: Если Х1 и Х2 – корни уравнения х 2 + px +q =0, то справедливы формулы х1 + х2 = -p, х1 · х2 = q.

Примеры решения квадратных уравнений по теореме Виета Пример 1: x2 -5x+6=0 р= -5, q=6 Подберем два числа х1 и х2 так, чтобы х1+х2=5 и х1·х2=6. Заметим, что это числа 2 и 3: т.к. 3+2=5, 3·2=6, Следовательно х1=2 ,х2 =3 корни данного уравнения. Ответ: 2,3.

Примеры решения квадратного уравнения по теореме Виета Пример 2: х 2 + 4x -5=0 р=4, q= -5 Подберем два числа х1 + х2 = -4, х1·х2 =-5. Заметим, что эти числа -5 и 1: т.к. -5+1=-4, -5·1=-5. Следовательно х1=-5, х2=1 корни данного уравнения. Ответ: -5, 1.

Тест: Выберите правильный ответ: 1. x2 - 5x +6=0 2. x2 + 8x +16=0 3. x2 - 4x +5=0 4. x2 - 2x - 15=0 5. x2 - 2x - 3=0 А) -2,3 Б) 2,-3 В) 2,3 А) -4 Б) -4,3 В) -5,0 А) -4,8 Б) 9,-4 В) корней нет А) -3,5 Б) -5,3 В) -14,8 А) 1,-3 Б) -1,3 В) -3, -1

Ответы к тесту: 1. Б) 2, 3. 2. А) -4. 3. В) корней нет. 4. А) – 3, 5. 5. Б) -1, 3.

Это интересно (дополнительные сведения о нахождении корней квадратного уравнения в особых случаях) 1случай: Если а+b+с=0, то х1=1, х2=с/а. 2 случай: Если а-b+с=0, то х1=-1, х2=-с/а Нахождение корней приведенного квадратного уравнения: х2+рх+q=0. Здесь полезно воспользоваться формулой: Х1,2 =-р/2 ±√(р/2)2 – q Формула запоминается надолго, если её выучить в стихотворной форме.

Использованная литература: Алтынов П.А. Тесты. Алгебра.7-9 – Москва, «Дрофа», 2007 год А.Г. Мордкович, Алгебра, 8 класс – Москва, «Мнемозина», 2008 год Ткачева М.В. Домашняя математика, 8 класс- Москва, «Просвещение», 1996 год Худадатова С.С. Математика в ребусах, кроссвордах – Москва, «Школьная Пресса», 2003 год Энциклопедический словарь юного математика –Москва, «Педагогика», 1985 год Энциклопедия «Я познаю мир. Математика» - Москва, АСТ, 1996 год. Мультимедийный диск: «Алгебра 7 – 11». Мультимедийный диск: «Математика 5-11»