Презентация на тему Теорема Пифагора в разных странах.

Теорема Пифагора в разных странах мира Презентацию подготовил ученик 8 А класса средней школы №47 Ронжин Алексей Учитель: Бояхчян Наталья Евгеньевна Рязань, 2015 г.

Египет В Египте был особый метод для построения прямого угла на местности: кольцевая веревка были отмечены 12 узелков на равных расстояниях, Если натянуть данную веревку, образовав треугольник со сторонами, пропорциональными 3, 4 и 5, то этот треугольник будет прямоугольным: в самом деле, его стороны удовлетворяют теореме Пифагора (3² + 4² = 5²).

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Вавилон Вавилоняне еще в середине II тысячелетия до н. э. знали, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Вавилонянам были известны многие «пифагоровы тройки» целых чисел, удовлетворяющих равенству x² + y²= z². Никто не знает о том, каким методом были найдены эти числа.  Теорема использовалась для вычисления диагонали квадрата, радиуса окружности, описанной около равностороннего треугольника, сторон правильных n-угольников.

Сохранились и задачи, при решении которых надо воспользоваться этой теоремой: например, требовалось определить длину шеста, который вначале вертикально прислонен к стене, а затем наклоняется так, что его верхний конец опускается на три локтя, а нижний отходит от стены на 6 локтей.

Китай Согласно китайскому «Трактату об измерительном шесте», теорема Пифагора для частного случая – треугольника со сторонами 3, 4, 5 – была известна в Китае еще в XII в. до н. э., а в общем случае – в VI в. до н. э. В комментариях к этой книге указывается, что доказательство теоремы основывалось на следующем чертеже: На этом чертеже видно, что большой квадрат (a + b)2 больше, чем квадрат гипотенузы c2, на четыре прямоугольных треугольника c катетами a и b, т. е. на 2ab: (a + b)2 = c2 + 2ab.

Значит, квадрат гипотенузы равен большому квадрату, уменьшенному на два прямоугольника со сторонами a и b, то есть закрашенной фигуре. А эта фигура, в свою очередь, равна сумме квадратов со сторонами a и b: На том же чертеже можно увидеть и другое доказательство. Квадрат гипотенузы больше, чем маленький квадрат в центре (a – b)2, на те же четыре треугольника, или на два прямоугольника: c2 = (a – b)2 + 2ab. Это нас снова приводит к той же закрашенной фигуре, равной сумме квадратов катетов.

В Китае теорема Пифагора называлась правилом «гоу-гу»: термины «гоу» (исходно «крюк») и «гу» («ребро», «связка») обозначали горизонтальный (обычно меньший) и вертикальный (обычно больший) катеты. В классическом китайском трактате «Математика в девяти книгах» (II в. до н. э.) последняя книга называется «Гоу-гу» и посвящена задачам, решаемым с помощью теоремы Пифагора. Вот пример такой задачи. Имеется водоем со стороной в 1 чжан (10 чи). В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснется его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?

В самом трактате «Математика в девяти книгах» решение не дается, приводится только правило, по которому можно вычислить ответ, причем в общем виде: «Половину стороны водоема умножь самое на себя, надводную часть в 1 чи умножь самое на себя, вычти это из первого, остаток раздели на удвоенную надводную часть камыша, получишь глубину воды. Прибавь количество чи надводной части, получишь длину камыша». То есть, в алгебраических обозначениях, если сторона водоема равна 2a (10 чи), а надводная часть b (1 чи), то глубина водоема равна (a2 – b2) / 2b, а длина камыша (((a2 – b2) / 2b) + b).

Индия В Индии теорема Пифагора была известна уже в VII–V вв. до н. э., служившая руководством по строительству алтарей и храмов. Такое строительство подчинялось ряду правил: храмы должны были ориентироваться строго по сторонам света, в их основании лежали определенные геометрические фигуры. Теорема Пифагора использовалась для построения прямых углов и квадратов с площадью, кратной данному квадрату.

Для построения квадрата, равновеликого двум данным квадратам, в большом квадрате строили меньший квадрат и соединяли их вершины, находя гипотенузу треугольника, катетами которого служили стороны исходных квадратов.

Доказательство теоремы Пифагора приводится в книге «Венец астрономического учения». Собственно, все доказательство состоит из чертежа, похожего на вышеприведенный китайский. В качестве пояснения фигурирует лишь слово «Смотри!». В Индии, главным в математическом доказательстве была наглядная убедительность, а не логическая строгость. Бхаскара приводит ряд задач на применение теоремы Пифагора, похожих на задачи «Математики в девяти книгах». Среди них и задача о водоеме – в индийском варианте в ней вместо камыша фигурирует лотос.

Греция Вполне вероятно, что в Греции теорему Пифагора впервые доказал сам Пифагор или кто-то из пифагорейцев. Неизвестно, как впервые была доказана теорема Пифагора. Рассмотрим доказательство, приведенное в «Началах» Евклида. Российские школьники прошлых времен, изучавшие геометрию по Евклиду, в шутку называли это доказательство «пифагоровы штаны».

Доказательство. Квадрат на левом катете ABFH равновелик удвоенному треугольнику FBC, потому что у них общее основание FB и общая высота AB = FH. Треугольник FBC равен треугольнику ABD по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC равно BD, FBC = FBA + ABC = 90° + ABC = CBD + ABC = ABD (фактически, треугольник FBC при повороте вокруг вершины B на 90° перейдет в треугольник ABD). Треугольник ABD равновелик половине прямоугольника BMLD, потому что у них общее основание BD и общая высота BM = LD. Таким образом, квадрат ABFH равновелик прямоугольнику BMLD. Точно так же доказывается, что квадрат на правом катете CAGK равновелик прямоугольнику LMCE. Следовательно, оба квадрата на катетах, вместе взятые, равновелики квадрату BCED на гипотенузе.

Некоторые авторы критиковали евклидово доказательство как недостаточно наглядное по сравнению с индийским. Однако доказательство Евклида имеет и свои достоинства: в частности, оно демонстрирует, каким именно частям квадрата гипотенузы равновелики квадраты катетов.