Презентация по математике Свойства углов и отрезков

Центральный и вписанные углы. Свойства хорд, секущих, касательной. Воскресенская Светлана Юрьевна

Задача Точка О – центр окружности, угол АСВ=25°. Найдите величину угла АОВ. Так как, вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу, то АСВ=1/2АОВ 1/2АОВ=25° АОВ=50°

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Пример Точка О – центр окружности, угол АСВ=65°. Найдите величину угла АОВ. Так как, вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу, то АСВ=1/2АОВ 1/2АОВ=65° АОВ=130°

Задача Точка О – центр окружности, угол АСВ=70°. Найдите величину угла АОВ. Решение

Задача Точка О – центр окружности, угол АСВ=25°. Найдите величину угла АОВ. Решение

Задача Точка О – центр окружности, угол АСВ=65°. Найдите величину угла АОВ. Решение

Задача Точка О – центр окружности, угол АСВ=65°. Найдите величину угла АОВ. Так как, вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу, то АСВ=1/2АОВ 1/2АОВ=65° АОВ=130°

Задача Точка О – центр окружности, угол АСВ=79°. Найдите величину угла АОВ. Решение

Задача Точка О – центр окружности, угол АСВ=43°. Найдите величину угла АОВ. Решение

Вписанный угол Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.

Пример Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет  окружности. Окружность составляет 360° , поэтому дуга АС, которая составляет  4/9 окружности, равняется 4/9*360°=160° . Поэтому вписанный угол АВС равен 80° , так как градусная мера вписанного угла вдвое меньше градусной меры  дуги, на которую опирается. Ответ:  80°

Задача Найти величину угла А0С (см. рис.), если угол АВС равен  Решение

Задача Найти величину угла  ВАD, изображенного на картинке: Решение

Найти величину угла D, изображенного на картинке: Задача Решение

Центральный угол на  больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Задача Решение

Найти градусную меру  угла ВАD: Задача Решение

Хо́рда Хо́рда— отрезок, соединяющий две точки данной кривой (например, окружности, эллипса, параболы).

Пример Найдите хорду, на которую опирается угол 30˚, вписанный в окружность радиуса 43. Угол  AOC – соответствующий центральный для вписанного угла  в  30°. Значит, по свойству вписанных углов, AOC=60°.  Тогда треугольник AOC – не просто равнобедренный, но  и равносторонний A= C=(180°-60°)/2. А значит, AC=AO=OC=43

Задача Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 11:61. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах. Решение

Так как  дуги ACB, AB  относятся друг другу как 11:61, то пусть  дуга ACB=11x  градусов, а дуга AB=61x градусов. Тогда, поскольку вся окружность составляет 360° , то 11x+61x=360 72x=360 X=5 Тогда на большую дугу  AB приходится 61*5°=305°. А угол ABC, что мы ищем – вписанный, опирающийся на дугу AB , равную 305˚. Значит он равен половине ее градусной меры, то есть 152,5° Ответ: 152,5. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 11:61. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах. Задача

Найти длину отрезка ME: Задача Решение

Задача Хорда AB стягивает дугу окружности в 82˚. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах. Решение

Касательная к окружности Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

Пример Через концы A и B дуги окружности в 620 проведены касательные AC иBC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах. Так как ВС и АС касательные, то по свойству касательной: OBC= OAC=900 Известно, что сумма углов в четырёхугольнике равна  3600. В четырёхугольнике ОАСВ нам известны три угла, можем найти четвёртый: OBC+ OAC+ ACB+ AOB=3600  900 + 900 + ACB +620 =3600  ACB = 1180

Задача Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а меньшая дуга окружности AB, заключенная внутри этого угла, равна 67˚. Ответ дайте в градусах. Решение

Задача Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 136˚. Ответ дайте в градусах. Решение

Задача К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая АО. Найдите радиус окружности, если AB=15, АО=17. Решение

Дополнительные Свойства, используемые для решения задач.

Свойство первое a=1/2( AB+ CD) Угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых заключена между его сторонами, а другая – между продолжениями сторон.

Свойство второе a=1/2( AB- CD) Угол, вершина которого лежит вне круга, измеряется полуразностью двух дуг, заключенных между его сторонами.

Свойство третье a=1/2 AC Угол, составленный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключенной внутри его.

Свойство четвертое a =AD*n

Теорема о касательной и секущей

Теорема первая Величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине угловой величины дуги, заключенной между его сторонами. Доказательство Рассмотрим угол NАВ, образованный касательной NA и хордой AB. Проведем диаметр АС. Касательная перпендикулярна диаметру, проведенному в точке касания, следовательно, угол(CAN)=90° Известно, что вписанный угол равен половине центрального угла дуги, на которую он опирается. Отсюда имеем, что угол(BAC) равен половине угловой величины дуги ВС или половине угла(ВОС). угол(BAC)=угол(BOC)/2. угол(NAB)=90°-угол(BAC), отсюда получаем угол(NAB)=90°-угол(BOC)/2=(180°-угол(BOC))/2=угол(АОВ)/2 то есть равен половине угловой величины дуги ВА. Фактически, это вырожденный случай теоремы о величине вписанного угла, когда вершина угла достигает конца дуги (хорды). Одна из сторон угла при этом становится касательной.

На рисунке, где MA - касательная, а MCB - секущая, эта теорема выглядит так: МА2=МВ*МС. Докажем это.По предыдущей теореме угол МАС равен половине угловой величины дуги АС. Но вписанный угол ABC тоже опирается на дугу AC, и по теореме о величине вписанного угла равен половине угловой величины дуги АС. Оба угла равны половине угловой величины дуги AC, следовательно, эти углы равны между собой. угол(MAC)= угол(ABC). Принимая во внимание то, что у треугольников АМС и ВМА угол при вершине М общий, констатируем подобие этих треугольников по двум углам. Из подобия имеем: MC/MA=МА/MB, откуда получаем МА2=МВ*МС Теорема вторая Если из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью.

Задача Пусть Е и F - общие точки двух неравных пересекающихся окружностей, АD и BC - общие внешние касательные этих окружностей (А, В, С и D - точки касания, первые две - на одной окружности, остальные - на второй). Пусть T - пересечение прямых AD и EF, а S - пересечение BC и EF. Доказать, что TS - средняя линия трапеции ABCD.