Презентация по математике Решение квадратных уравнений

«Решение квадратных уравнений» Вперед Тема урока

О создателях

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Определение: Квадратным уравнением называют уравнения вида аx2+bх+с=0, где а , b, с– любые действительные числа, причем а≠0. Текст, выделенный рамочкой, подлежит записи в тетрадь Например: 5х2+3х-8=0 -3х2+8=0 2х2+11х=0

Определение: Корнем квадратного уравнения аx2+bх+с=0 называют всякое значение переменной x, при котором квадратный трехчлен аx2+bx+c обращается в нуль, такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена. Решить квадратное уравнение - значит найти все его корни или установить, что корней нет.

Различные способы решения квадратного уравнения Способ №1: Рассмотрим квадратный трехчлен x2-4х+3 и разложим его на множители, используя способ группировки. Имеем x2-4х+3= x2-x-3х+3=(х2-x)-(3x-3)=x(x-1)-3(x-1)=(x-1)(x-3). Значит, заданное уравнение можно переписать в виде (х-1)(х-3)=0, откуда ясно ,что уравнение имеет два корня, х1=1, х2=3

Способ №2: Рассмотрим квадратный трехчлен x2-4х+3 и разложим его на множители, используя метод выделения полного квадрата. Имеем x2-4х+3= x2-4х+4-1=(х-2)2-1. Воспользовавшись формулой разности квадратов, получим (х-2-1)(х-2+1)=(х-1)(х-3). Значит, заданное уравнение можно переписать в виде (х-1)(х-3)=0, откуда ясно ,что уравнение имеет два корня, х1=1, х2=3

Итак, мы решили уравнение двумя способами. Тем не менее знание этих способов не есть панацея от всех бед. Ведь наши успехи в решении квадратных уравнений зависели от одного благоприятного обстоятельства: квадратный трехчлен удавалось разложить на множители. Математики нашли универсальный способ решения любых квадратных уравнений.

Формулы корней квадратных уравнений Пусть дано квадратное уравнение аx2+bх+с=0. Преобразуем его ax2+bx+c=a(x2+(b/a)x)+c=a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a. Обычно выражение b2-4ac обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнения аx2+bх+с=0. Значит, квадратное уравнение аx2+bх+с=0 можно переписать в виде (x+(b/2a))2=D/4a2

Теорема №1: Если D<,0, то квадратное уравнение аx2+bх+с=0 не имеет корней. Например: Решить уравнение 2х2+4х+7=0 Решение. Здесь а=2, b=4, c=7, D=b2-4ac=42-4*2*7=16-56=-40. Так как D<,0, то по теореме №1 данное уравнение не имеет корней .

Теорема №2: Если D=0, то квадратное уравнение аx2+bх+с=0 имеет один корень, который находится по формуле х=-b/2a. Например: Решить уравнение х2-2х+1=0 Решение. Здесь а=1, b=-2, c=1, D=b2-4ac=(-2)2-4*1*1=4-4=0. Так как D=0, то по теореме №2 данное уравнение имеет корень х=-b/2a=2/2=1 .

Теорема №3: Если D>,0, то квадратное уравнение аx2+bх+с=0 имеет два корня, которые находится по формулам х1=(-b+√D)/2a, х2=(-b-√D)/2a Например: Решить уравнение 3х2+8х-11=0 Решение. Здесь а=3, b=8, c=-11, D=b2-4ac=(8)2-4*3*(-11)=64+132=196. Так как D>,0, то по теореме №3 данное уравнение имеет 2 корня: х1=(-b+√D)/2a=(-8+14)/6=1, х2=(-b-√D)/2a=(-8-14)/6=-11/3

Правило решения уравнения аx2+bх+с=0 1. Вычислить дискриминант по формуле D=b2-4ac. 2. Если D<,0, то квадратное уравнение не имеет корней. 3. Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень: x = - b/2a Если D>,0, то квадратное уравнение имеет два корня: x1=(-b+√D)/2a, х2=(-b-√D)/2a.

Самоконтроль Давайте проверим ваши знания по теме «Решение квадратных уравнений»

Какое из следующих уравнений будет квадратным? 5х+9=0 -5х+2,5=5 8x2+4,5х+2=0 1/х+12=0

Разделить разность его корней на произведение коэффициентов, Найти все его корни или установить, что корней нет, Сложить все коэффициенты уравнения, Доказать что корней нет, Что значит решить квадратное уравнение?

Если дискриминант квадратного уравнения больше нуля, то… а) уравнение не имеет корней, б) уравнение имеет один корень, в) про уравнение ничего сказать нельзя, г) уравнение имеет 2 корня,

Выбрать правильный ответ из предложенных вариантов Уравнение x2-х-6=0 имеет 2 положительных корня. Уравнение x2+2х+3=0 не имеет корней. Уравнение 3x2+7х-6=0 имеет один корень. Уравнение x2-3х+2=0 имеет 2 отрицательных корня.

Вы дали неправильный ответ

Определение: Квадратным уравнением называют уравнения вида аx2+bх+с=0, где а , b, с– любые действительные числа, причем а≠0 Например: 5х2+3х-8=0 -3х2+8=0 2х2+11х=0

Определение: Корнем квадратного уравнения аx2+bх+с=0 называют всякое значение переменной x, при котором квадратный трехчлен аx2+bx+c обращается в нуль, такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена. Решить квадратное уравнение - значит найти все его корни или установить, что корней нет.

Правило решения уравнения аx2+bх+с=0 1. Вычислить дискриминант по формуле D=b2-4ac. 2. Если D<,0, то квадратное уравнение не имеет корней. 3. Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень: x = - b/2a Если D>,0, то квадратное уравнение имеет два корня: x1=(-b+√D)/2a, х2=(-b-√D)/2a.