Презентация – пособие «Преобразование графиков функций »

Презентация – пособие «Преобразование графиков функций » Часть I Учителя Новопокровской ош Глухова Виктора Владимировича Новопокровка 2014 – 2015 уч. год

Рассмотрим преобразования графика функции у = f (x) в график функции у = k f ( x + m ) + n . Осознаем роль коэффициента k и слагаемых m и n в данной формуле. График функции у = f (x) является базовым. Повторим для начала все основные графики функций, которые мы изучали в 9 классе

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Прямая пропорциональность y = k x Например, у = 2х , (прямая, проходящая через начало координат.)

График линейной функции y = k x + b Например, у = 3х – 2 ( прямая, не проходящая через начало координат.)

График обратной пропорциональности, функции у = гипербола , не пересекающая оси координат .

График квадратичной функции y = x2 Парабола, проходящая через начало координат и точки (1,1) и ( -1,1).

График кубической функции y = x3 Кубическая парабола, проходящая через начало координат и точки (1,1) и ( -1,-1).

График функции y = Парабола, существующая только для х ≥ 0 , проходящая через начало координат и точки ( 1, 1 ) и ( 4 , 2).

Теперь повторим материал 8 класса по уравнению прямой y = k∙x + b Как проходит прямая в зависимости от коэффициента k ? Каково положение прямой в зависимости от свободного члена b ? Рассмотрим на конкретных примерах.

Если в уравнении y = k x коэффициент k >, 0 , то прямая проходит в I и III четвертях. Угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс – острый ( k = tg α >, 0 )

Если в уравнении y = k x коэффициент k <, 0 , то прямая проходит в II и IV четвертях. Угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс – тупой . ( k = tg α <, 0 )

Если в уравнении y = k x + b b >, 0 , то прямая y = k x сдвигается параллельно вверх на b единиц, если b <,0 то прямая y = k x сдвигается вниз параллельно на b единиц. В одной системе координат построим графики (по цвету формулы ) а) у = -0,5х б) у = - 0,5х + 5 в) у = -0,5х – 4 г) у = -0,5х – 8

Рассмотрим, какова роль свободного члена b в формуле прямой у = kx + b построим графики в одной системе координат а) у = 0,3х + 3 , б) у = 2х + 3 , в) у = - 4х + 3 Все эти графики пересекают ось ординат в точке ( 0 , 3 )

Мы всё ближе к осознанию преобразования графика функции у = f (x) в график функции у = k f ( x + m ) + n Рассмотрим поэтапно преобразования: а) f (x) и f (x) + n б) f (x) и f ( x + m) в) f (x) и k f (x) г) f (x) и k f ( x + m ) + n

Первое преобразование у = f (x) в у = f (x) + n Построим в одной системе координат графики следующих функций а) у = х2 , б) у = х2 + 3, в) у = х2 – 4 , г) у = х2 – 9 Вывод: если n >, 0 , то парабола y = x2 сдвигается параллельным переносом вверх на n единиц, если n <, 0, то парабола y = x2 сдвигается вниз на n единиц.

Рассмотрим преобразование, которое мы не могли наблюдать с графиками прямых. Общий вид преобразования у = f (x) и у = f ( x + m). Теперь число прибавляется не к функции, как в предыдущем примере, а к аргументу. Что же мы ожидаем увидеть? Что если m >, 0 , то парабола y = x2 сдвигается параллельным переносом вдоль оси абсцисс влево на m единиц, если m <,0 то парабола y = x2 сдвигается параллельным переносом вдоль оси абсцисс вправо на m единиц. То есть если m положительное число, то сдвиг происходит вдоль оси абсцисс , но в отрицательном направлении и , наоборот, если m отрицательное число, то сдвиг происходит вдоль оси абсцисс , но в положительном направлении

Для того, чтобы увидеть параллельный перенос – сдвиг вдоль оси абсцисс нам достаточно построить в одной системе координат графики следующих функций 1. у = х2 , 2. у =( х + 2)2, 3. у =( х – 3)2 , 4. у =( х – 5)2

Теперь рассмотрим преобразование у = f (x) и у = k f (x). Оценим роль коэффициента k. Оценивать будем по двум моментам. а) k - положительный или отрицательный коэффициент. б) k - больше или меньше единицы.

Рассмотрим преобразование, когда у = f (x) переходит в у = k f (x), где k - отрицательный коэффициент. Наблюдаем симметричное отображение относительно оси абсцисс графика у = х2 в график у = - х2 , а у = 3х2 в график у = - 3х2

Рассмотрим преобразование, когда у = f (x) переходит в у = k f (x), где k - положительный коэффициент. Наблюдаем, что, график функции у = k х2 получается из графика у = х2 с помощью сжатия его в k раз к оси ординат ( Оу), если k >,1 , или с помощью растяженя в k раз к оси ординат ( Оу) , если 0 <, k <, 1. Строим графики : у = х2 , у = 2 х2 , у = 3х2 , у = 0,2 х2

Для обобщения преобразование у = f (x) в у = k f ( x + m ) + n рассмотрим для наглядности построение простого графика функции у = (х- 3)2 – 1 1) Строим базовый график у = х2

По формуле у = k f ( x + m ) + n имеем m = - 3. 2) График у = х2 сдвигается вправо ( m <,0) на три единицы , получили график у = (х - 3)2

По формуле у = k f ( x + m ) + n имеем n = -1. 3) График у = (х-3)2 сдвигается параллельным переносом вниз (n <, 0) на одну единицу, получили график у = (х- 3)2 – 1

Подведем итоговое преобразование, комплексно объединяющее все предыдущие преобразования у = f (x) в у = k f ( x + m ) + n . Из выше сказанного, после обобщений, следует : 1) k – растягивает или сжимает график функции f (x) к оси ординат (Оу) 2) m – производит сдвиг графика вдоль оси абсцисс (Ох) 3) n – производит сдвиг графика вдоль оси ординат (Оу) Для наглядности построим график функции у = – 2(х – 4)2 + 5, но разобьём построение на последовательные этапы 1. у = х2 (базовый график) 2. у = 2 х2 ( сжатие к оси ординат в два раза) 3. у = – 2х2 ( симметричное отображение относительно Ох) 4. у = – 2(х – 4)2 ( сдвиг влево на 4 единицы) 5. у = – 2(х – 4)2 + 5 (сдвиг вверх на 5 единиц)

Этапы построения графика функции у = – 2(х – 4)2 + 5, базовый график у = х2 переходит в у = 2 х2 . Наблюдаем сжатие к оси ординат (Оу) в два раза

Этапы построения графика функции у = – 2(х – 4)2 + 5, график у = 2х2 переходит в у = – 2х2 . Наблюдаем симметричное отображение относительно Ох.

Этапы построения графика функции у = – 2(х – 4)2 + 5, график у = – 2х2 переходит в у = – 2(х – 4)2 . Наблюдаем сдвиг влево параллельным переносом на 4 единицы.

Этапы построения графика функции у = – 2(х – 4)2 + 5, график у = – 2(х – 4)2 переходит в у = – 2(х – 4)2 + 5 . Наблюдаем сдвиг вверх параллельным переносом на 5 единиц.

Таким образом по преобразованию у = f (x) в у = k f ( x + m ) + n . график у = х2 в несколько этапов переходит в график у = – 2(х – 4)2 + 5 .

Рассмотрим построение графика у = поэтапно, но без пояснений

Второй шаг, результат первого шага пунктиром. Какое действие?

Третий шаг, результат первых шагов пунктиром. Какое действие?

Четвёртый, окончательный шаг. Какое действие?

Это окончательный график у = .это график никогда не пересечёт горизонтальную линию у =- 3 и вертикальную линию х = - 2 ( их называют асимптотами) Вспомним, область определения функции D(y) = (-, -2)U(-2: ) область изменения функции Е (у) = (-, -3)U(-3: )

В преобразовании у = f (x) в у = k f ( x + m ) + n не учитывается коэффициент, который может стоять перед аргументом Х. В 10 классе это будет учитываться. А пока рассмотрим построение графика у = Область определения D(y)= [0,) базовой функции y = Минус перед аргументом делает область определения противоположной. D(y)= (-,0] для функции y = То есть происходит симметричное отображение базового графика, но относительно оси Оу. Ну а дальнейшие преобразования - параллельный сдвиг вправо и вниз Вам уже известен. Проследите самостоятельно эти этапы, но уже в одной системе координат.

Проверьте степень усвоения учебного материала, ответив на тесты. Нажмите клавишу Esc и заполните тесты. Сравните свои ответы с приведёнными ниже, если результат Вас не удовлетворил, то посмотрите презентацию вновь, но более внимательно

B-1 русский яз B-2 украинский язык Дана функция Новая функция Описание преобразования y = x2 Сдвиг-перенос на 2 ед. вверх y = x2 y = x2 – 4 y = x2 симметрия относительно оси Ох y = (x + 2)2 Перенос на 2 ед. влево y = x2 Перенос на 2 ед. вправо y = x2 Растяжение в 2 раза от оси Оy Дана функ-ція Нова функція Опис перетворення y = x2 Перенесення на 1 од. вниз y = x2 y = x2 + 6 y = x2 симетрія відносно осі Ох y = (x –1)2 Перенесення на 1 од. вправо y = x2 Перенесення на 1 од. вгору y = x2 Стиск в 2 рази до осі Оy

Проверим результаты усвоения материала

B-1 B-2 Дана функция Новая функция Описание преобразования y = x2 y=x2+2 Сдвиг-перенос на 2 ед. вверх y = x2 y = x2 – 4 Сдвиг-перенос на 4 ед. вниз y = x2 y = –x2 симметрия относительно оси Ох y = x2 y = (x + 2)2 Перенос на 2 ед. влево y = x2 y = (x - 2)2 Перенос на 2 ед. вправо y = x2 y= 0,5 x2 Растяжение в 2 раза от оси Оy Дана функ-ція Нова функція Опис перетворення y = x2 y = x2 -1 Перенесення на 1 од. вниз y = x2 y = x2 + 6 Перенесення на 6 од. вгору y = x2 y=-x2 симетрія відносно осі Ох y = x2 y = (x –1)2 Перенесення на 1 од. вправо y = x2 y=x2+1 Перенесення на 1 од. вгору y = x2 y=2x2 Стиск в 2 рази до осі Оy

Удачи и терпения в изучении математики !!! Когда будете закрывать программу , пожалуйста, не сохраняйте изменения.