Презентация Геометрия 10 класс

Стереометрия 10 класс Учитель математики МБОУ «СОШ № 15» г. Братска Аникиной А.И.

Содержание Стереометрия (аксиомы и следствия) Параллельность прямых и плоскостей Взаимное расположение прямых в пространстве Параллельность плоскостей Перпендикулярность прямых и плоскостей Перпендикулярные и наклонные Двугранный угол

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

ГЕОМЕТРИЯ (ПЛОСКИЙ) (ОБЪЁМНЫЙ) ПЛАНИМЕТРИЯ СТЕРЕОМЕТРИЯ (ТОЧКА, ПРЯМАЯ) (ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ПЛОСКОСТЬ)

Предмет стереометрии Стереометрия —это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. «стереос» — объемный, пространственный и «метрео» — измерять.

ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ СТЕРЕОМЕТРИИ ТОЧКА: А,В,С,… ПРЯМАЯ: а,b,c,d,…, АВ,СР,… ПЛОСКОСТЬ: АВС, MNР,…

Аксиомы стереометрии Аксиома 1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. А В С 

Аксиомы стереометрии Аксиома 2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. A B 

Аксиомы стереометрии Аксиома 3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. а   А

Некоторые следствия из аксиом Теорема: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. a E P M 

Некоторые следствия из аксиом Теорема: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. M N  b a

Параллельность прямых и плоскостей Параллельность прямых, прямой и плоскости

Параллельные прямые в пространстве Определение: Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Теорема: M a b 

Параллельность трех прямых Лемма: Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. а   b p N M

Параллельность трех прямых Теорема: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. К a b  c

Параллельность прямой и плоскости Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.  b a

Параллельность прямой и плоскости Теорема: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна.  b a

Два утверждения, используемые при решениях задач Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.  b a 

Два утверждения, используемые при решениях задач 2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.  b a

Взаимное расположение прямых в пространстве Угол между двумя прямыми

Скрещивающиеся прямые Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.  

Признак скрещивающихся прямых Теорема: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. А В  D C

Три случая расположения двух прямых в пространстве Прямые пересекаются, т. е. имеют только одну общую точку(рис.а)    а б в Прямые параллельны, т. е. лежат в одной плоскости и не пересекаются(рис.б) Прямые скрещивающиеся, т. е. не лежат в одной плоскости(рис.в)

Теорема о скрещивающихся прямых Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.  B A E D C

Углы с сонаправленными сторонами Теорема: Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны. O1 O A A1 B B1

Параллельность плоскостей

Параллельные плоскости Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Определение: а    

Признак параллельности двух плоскостей Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Теорема:   a1 b1 a b M

Свойства параллельных плоскостей 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линий их пересечения параллельны.    b a

Свойства параллельных плоскостей 2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.    B A D C

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярные прямые в пространстве Определение: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90. c b a

Перпендикулярные прямые в пространстве Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. A c C b a M

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.  a

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.  а а1 x

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.   M b a b1 c

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. q  m o a p b

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости Теорема: Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.   M b a c

Перпендикулярные и наклонные Угол между прямой и плоскостью

Расстояние от точки до плоскости Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости , а точка Н – основанием перпендикуляра.  M H A

Расстояние от точки до плоскости АМ называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости , а точка М – основанием наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость . АН – катет, сторона АМ – гипотенуза, поэтому АН<,АМ.  M H A

Расстояние от точки до плоскости Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости.  M H A

Замечания 1. Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями. 2.Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости. В этом случае расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью. 3. Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Теорема о трех перпендикулярах Теорема: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной. Обратная теорема: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции   M a H A

Угол между прямой и плоскостью Определение: Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.  A M 0 

Угол между прямой и плоскостью Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости.  M M1 N F1 F

Угол между прямой и плоскостью Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая.   H1 a H a1 M

Двугранный угол Перпендикулярность плоскостей

Двугранный угол Определение: a Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Двугранный угол Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями. У двугранного угла две грани, отсюда и название – двугранный угол. Прямая а – общая граница полуплоскостей – называется ребром двугранного угла. a

Двугранный угол Отметим на ребре двугранного угла какую – нибудь точку и в каждой грани из этой точки проведем луч перпендикулярно к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейным углом двугранного угла. A C O B D

Двугранный угол Все линейные углы двугранного угла равны друг другу. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. A O B O1 B1 A1

Виды двугранных углов Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если он равен 90 (меньше 90, больше 90). 90 45 110 Прямой Тупой Острый

Признак перпендикулярности двух плоскостей Определение: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90   90°

Признак перпендикулярности двух плоскостей Теорема: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.   A C B D

Признак перпендикулярности двух плоскостей Следствие: Плоскость, перпендикулярна к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.    а