Презентация по математике Математические софизмы 9 класс

Презентацию подготовила ученица 9 а класса МБОУ Кулешовской СОШ №17 Азовского района Череповская Елизавета. Руководитель: Учитель математики: Головань О.Г.

Мартин Гарднер «Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки»

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Цель: изучить данную тему, узнать, что такое софизмы. Задачи: 1.Познакомиться с софизмами, 2.Понять, как найти ошибку во внешне безошибочных рассуждениях? 3.Узнать, как проклассифицировать «софизмы», по каким критериям? 4.Обобщить найденный материал. Гипотеза: Если неточно знать формулировки теорем, математические формулы, правила и условия, при которых они выполняются, а также не анализировать построение чертежа к геометрической задаче, то можно получить абсурдные результаты, противоречащие общепринятым представлениям.

Софизмы появились еще в Древней Греции. Они тесно связаны с философской деятельностью софистов — платных учителей мудрости, учивших всех желающих философии, логике и, особенно, риторике (науке и искусству красноречия). Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Для этого они разрабатывали разнообразные логические, риторические и психологические приемы. К логическим приемам нечестного, но удачного ведения дискуссии и относятся софизмы. История возникновения софизмов: Софизм - (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям, и имеющее изначально заложенную ошибку. Понятие софизма

Известные ученые-софисты Сократ Евбулид Горгий из Леонтин Теофраст Протагор из Абдеры Евклид Платон Гиппий из Элиды Продик из Кеоса

ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ ПРИ РЕШЕНИИ СОФИЗМОВ Запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения.

Числовые Геометрические Алгебраические Логические Математические софизмы

Алгебраические софизмы Алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

«Дважды два - пять» Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой. Действительно, 4:4=1:1, но 4:4≠4(1:1). Напишем тождество 4:4=5:5. Вынесем из каждой части тождества общие множители за скобки, получаем: 4(1:1)=5(1:1) или так как 1:1=1, то сократим и получим (2*2)*(1:1)=5*(1:1). Где ошибка?

Любое число равно 0 Пусть a – любое число. Рассмотрим уравнение 3х2-3ах+а2=0. Перепишем его таким образом: 3х2-3ах =-а2. Умножая обе его части на –a, получим уравнение -3ах2-3а2х+3а2х =а3. Прибавляя к обеим частям этого уравнения х3-а3, получаем уравнение Х3-3ах2+3а2х-а3=х3 или (х-а)3=х3 откуда x-a=x, т.е. a=0. Где ошибка? Решение: Все написанное можно интерпретировать так: если x–корень уравнения 3х2-3ах+а2=0, то проведенные выкладки показывают, что уравнение имеет решение лишь при a=0.

Любое число равно его половине Возьмём два равных числа a и b, a = b. Обе части этого равенства умножим на a и затем вычтем из произведений по b2. Получим: a2 – b2 = ab – b2, или (a + b) (a – b) = b (a – b). Отсюда a + b = b, или a + a = a, так как b = a. Значит, 2a = a, a = . В чём ошибка? Нельзя делить на (a – b), так как (a – b) = 0 .

Спичка вдвое длиннее телеграфного столба Пусть а дм- длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c. Имеем b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b2 - ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2- ab - bc = ca + c2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b. Разбор софизма: В выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба. =

Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска Пусть a (м) – расстояние от Земли до Солнца, а b (м) – толщина волоска. Среднее арифметическое их обозначим через v. Имеем:a + b = 2v, a = 2v – b, a – 2v = – b. Перемножив по частям два последних равенства, получаем:a2 – 2av = b2 – 2bv. Прибавим к каждой части v2. Получим: a2 – 2av + v2 = b2 – 2bv + v2, или (a – v)2 = (b – v)2, т.е. (a – v) = (b – v), и, значит, a = b. Где здесь ошибка? Разбор софизма: (a – v)2 = (b – v)2  ↔ ׀a – v ׀ =  ׀ b – v׀

Из двух неравных чисел первое всегда больше второго Пусть a и b – произвольные числа и a ≠ b. Имеем: (a – b)2 >, 0, т.е. a2 – 2ab – b2 >, 0, или a2 + b2 >, 2ab. К обеим частям этого неравенства прибавим – 2b2. Получим: a2 – b2 >, 2ab – 2b2, или (a + b) (a – b) >, 2b (a – b). После деления обеих частей на (a – b) имеем: a + b >, 2b, откуда следует, что a >, b. Где ошибка? Решение. При делении обеих частей неравенства (a + b) (a – b) >, 2b (a – b) на (a – b) знак неравенства может измениться на противоположный (если a – b <, 0).

«Любое число равно числу, в два раза большего его » Запишем очевидное для любого числа a тождество a2 - a2 = a2 - a2, вынесем a в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим a(a – a) = (a + a)(a - a). Разделив обе части на (a – a), получим a = a + a, или a=2a. Итак, всякое число равно своему удвоенному значению. Разбор софизма : Здесь ошибочен переход к равенству a=2a. В самом деле, число a-a, на которое делится равенство a(a – a) = (a + a)(a - a) равно нулю. А мы прекрасно знаем, что на ноль делить нельзя.

Пусть число x равно 1. Тогда можно записать, что x2 =1, или x2 – 1= 0, раскладывая x2 - 1 по формуле разности квадратов, получим (x+1)(x - 1)=0. Разделив обе части этого равенства на x-1, имеем х+1=0 и х= -1. Поскольку по условию х=1, то отсюда приходим к равенству 1= -1. «Единица равна минус единице» Разбор софизма : Здесь ошибка совершена при переходе от равенства (x+1)(x - 1)=0 к равенству х+1=0 и х= -1. Действительно, этот переход совершен посредством деления на величину x – 1, которая по исходному условию равна нулю, а , как известно, деление на нуль запрещено. Равенство (x+1)(x - 1)=0, в силу того что x – 1 = 0, можно записать в виде равенства (x + 1)•0= 0, которое выполняется при любом значении x+1. Поэтому вывод о том, что x = -1, неправомерен.

«Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его» Возьмем два произвольных положительных равных числа А и В и напишем для них следующие очевидные неравенства: А>,-В и В>,-В. (1). Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство А*В>,В*В, а после его деления на В, что вполне законно, ведь В>,0, придем к выводу, что А>,В. (2). Записав же два других столь же бесспорных неравенства В>,-А и А>,-А, (3) Аналогично предыдущему получим, что В*А>,А*А, а разделив на А>,0, придем к неравенству А>,В. (4) Итак, число А, равное числу В, одновременно и больше, и меньше его. Где ошибка? Решение. Здесь совершен неравносильный переход от одного неравенства к другому при недопустимом перемножении неравенств. Проделаем правильные преобразования неравенств. Запишем неравенство (1) в виде А+В>,0, В+В>,0.Левые части этих неравенств положительны, следовательно, умножая почленно оба эти неравенства (А+В)(В+В)>,0, или А>,-В, что представляет собой просто верное неравенство. Аналогично предыдущему, записывая неравенства (3) в виде (ВА)>,0, А+А>,0, получим просто верное неравенство В>,-А.

«Софизм Перрона: единица есть наибольшее натуральное число» Мы знаем, что числа 1, 2, 3, 4, 5, … называются натуральными. Понятно, что натуральных чисел бесконечное множество и наибольшего натурального числа нет. Тем не менее мы докажем, что наибольшим натуральным числом является единица. Пусть число k>,1 является наибольшим натуральным числом. Тогда мы можем записать, если k>,1, то k*k˃k*1, значит k2˃k. Последнее показывает, что принятое нами в качестве наибольшего натурального числа число k2, больше этого числа k. Следовательно, никакое целое число k>,1 не может быть наибольшим целым. Значит, наибольшим натуральным числом является 1, так как только в этом случае мы не приходим к противоречию k*k˃k*1. Разбор софизма. Доказательство в софизме не закончено, и его надо продолжить. Итак, в софизме показано, что никакое целое число k>,1 не может являться наибольшим натуральным числом. Далее, в софизме делается такое заключение: «остаётся принять, что наибольшим натуральным является число 1». Здесь «доказательство» необходимо продолжить так: но поскольку 1, очевидно, не может быть наибольшим натуральным числом, то отсюда следует, что наибольшего натурального числа не существует.

Возьмём произвольное не равное нулю число a и напишем уравнение x=a. Умножая обе его части на (-4а), получим -4ах=-4а2. Прибавляя к обеим частям последнего равенства х2 и перенеся член -4а2 влево с противоположным знаком, получим х2-4ах+4а2=х2, откуда, замечая, что слева стоит полный квадрат, имеем (х-2а)2=х2, или х-2а=х. Заменяя в последнем равенстве х на равное ему число а, получим а-2а=а, или -а=а, откуда 0=а+а, т. е. сумма двух произвольных одинаковых чисел а равна 0. Где ошибка? «Сумма любых двух одинаковых чисел равна нулю» Решение. Когда мы имеем полный квадрат, то (х-2а)2=х2 /х-2а/=/х/, а так x=a, то 2а-x=x.

«Все числа равны между собой» Возьмём числа a <, b, тогда существует такое c >, 0, что: a + c = b, умножим обе части на (a − b) имеем: (a + c)(a − b) = b(a − b). a2 + ca − ab − cb = ba − b2 , cb переносим вправо, имеем: a2 + ca − ab = ba − b2 + cb a (a + c − b) = b(a − b + c) отсюда a = b. Разбор софизма: По определению: a + c = b. Значит, a + c − b = 0 . И выражение a(a + c − b) = b(a + − b) тождественно a ∙ 0 = b ∙ 0.

Геометрические софизмы Это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

«Катет равен гипотенузе» Угол С равен 90˚, ВД-биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярна СА, О-точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС. Имеем: треугольник LВО равен треугольнику МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, треугольник КОА равен треугольнику ОМА (ОА - общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА - прямые), угол ОАК = углу МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и потому ВА = ВС. В чем ошибка? Решение. Ошибка заключается в том, что рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе, опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

«Из точки на прямую можно опустить два перпенди­куляра» Возьмем треугольник ABC. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и D. Соединим точки Е и D прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр, угол BDC также прямой. Следовательно, BEAC и BDAC. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС. В чем ошибка? Решение. Рассуждения опирались на ошибочный чертеж. В дей­ствительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т. е. BE совпадает с BD.

«Из точки, взятой на прямой, можно провести к этой прямой два перпендикуляра» (лежащие с ней в одной плоскости). Возьмем прямой угол АОВ. Через вершину О проведем внутри угла произвольный луч и на нем от точки О отло­жим произвольный отрезок ON. Из середины этого отрезка, как центра, опишем окружность, проходящую через точки О и N. Проведем через точку N прямую, параллельную АО. Пусть эта прямая пересекает окружность в точке D. Соединим отрезком точки О и D. Угол ODN, как вписанный, опираю­щийся на диаметр, прямой, а так как ND АО, то угол DOA тоже прямой. Следовательно, ОВ АО и OD АО. В чем ошибка? Решение. Здесь ошибка в неправильно построенном чертеже

«Через точку, лежащую вне прямой, можно провести две прямые, параллельные данной прямой» Дана прямая MN и вне ее точка А. Проведем через точку А прямую АВ, парал­лельную прямой MN. Возьмем на MN некоторую точку С. На отрезке АС, как на диаметре, построим полуокружность. Пусть D – точка пересечения этой полуокружности с перпен­дикуляром к прямой MN, проходящим через точку С. Через точки А и D проведем прямую. Так как угол CDA прямой, а CD  MN, то AD – прямая, параллельная MN. Следовательно, через А проходят две прямые, параллельные прямой MN. В чем ошибка? Решение. Ошибочное заключение софизма получено из-за неверно построенной на рисунке

«Прямой угол равен тупому» Для доказательства выполним следующее построение. Возьмем некоторый отрезок АВ и при концах его А и В построим прямой угол и тупой. На сторонах этих углов от их вершин отложим равные отрезки AD и ВС. Отрезки АВ и DC разделим каждый пополам и через точки деления проведем к этим отрезкам перпендикуляры. Так как АВ и DC непараллельны, то эти перпендикуляры пересе¬кутся в некоторой точке О. Соединим точку О с точками А, В, С и D отрезками. Получившиеся треугольники AOD и ВОС равны, так как АО = ОВ, AD = ВС, DO = СО, и, зна¬чит, OAD = ОВС, но ЕАО = ЕВО, поэтому DAE = СВЕ, т. е. прямой угол равен тупому. В чем здесь дело? Решение.

«Все треугольники равнобедренные» . Пусть ABC -произвольный треугольник. Проведем биссектрису угла А и перпендикуляр к стороне ВС, проходящий через ее се¬редину D. Может оказаться так, что точка пересечения бис¬сектрисы и перпендикуляра (точка К) будет лежать внутри треугольника ABC. Опустим из точки К перпендикуляры КЕ и KF на стороны АС и АВ. Имеем: АЕК = AFK, а значит, КЕ = KF и АЕ = AF. Треугольники BKD и CKD так¬же равны, а поэтому KB = КС. Остается рассмотреть прямоугольные треугольники BKF и СКЕ. Они равны, так как КЕ = KF и KB = КС. Из равенства этих треугольников вытекает, что ЕС = FB. Возьмем теперь два ра¬венства: АЕ = AF и СЕ = BF. Сложив их по частям, получаем: АС = АВ. Аналогично можно провести рас¬суждения в случае, если точка К будет лежать вне треуголь¬ника ABC. В чем ошибка? Решение. Ошибочные чертежи.

«Всякая окружность имеет два центра» Построим острый угол ABC. На сторонах его возьмем точки D и Е и через них проведем перпендикуляры к сторонам угла. Пусть эти перпендикуляры пересекаются в точке F. Через три точки D, F и Е проведем окружность. Эта окружность пересечет стороны угла в точках М и N. Отрезки MF и NF должны быть диаметрами построенной окружности, так как на них опираются вписанные в эту окружность прямые углы MDF и NEF. Середины отрезков MF и NF должны быть центрами построенной окружности. Следовательно, окружность имеет два центра. В чем ошибка? Решение. Ошибка здесь кроется в неправильно построенном чертеже. На самом деле окружность, проведенная через точки Е, F , обязательно пройдет через вершину В угла ABC, т. е. точки В, Е, F и D обязательно должны лежать на одной окружности.

«Доказательство» теоремы о сумме внутренних углов треугольника, не опирающееся на аксиому параллельных прямых Возьмем произвольный треугольник ABC, на стороне АС его произвольную точку D и соединим ее отрезком с В. Обозначим искомую сумму внутренних углов треугольника буквой х. Имеем: , . Сложим по частям эти равенства: . Выражение в первых скобках – сумма углов треугольника ABC, она равна х. Выражение во вторых скобках равно 180° (как сумма смежных углов). Имеем: х + 180° = 2х и х = 180°. В чем ошибка? Решение. Мы воспользовались недоказанным утверждением: Сумма внутренних углов любого треугольника постоянна.   ,  .

Для выявления ошибки построен чертеж, показывающий, какую на самом деле траекторию проходят различные точки окружности, и становится очевидной ошибка доказательстве. Точки А1 и А2 во время движения колеса описывают кривые разной длины, их называют циклоидальными кривыми. Софизм Аристотеля Все окружности имеют одинаковую длину. Ведь при оборачивании двух окружностей с разными диаметрами ОА1 и ОА2, каждая из них за один оборот спрямляется на одинаковый отрезок OO1

Искусная починка В дне деревянного судна во время плавания случилась прямоугольная пробоина в 13 см длины и 5 см ширины, т.е. площадь пробоины = 65 см2. Судовой плотник взял квадратную дощечку со стороной квадрата 8 см (т.е. площадь = 64 см2), разрезал её прямыми линиями на четыре части A, B, C, D так, как показано на рисунке 2, а затем сложил их так, что получился прямоугольник, как раз соответствующий пробоине, см. рисунок 3. Этим прямоугольником он и заделал пробоину. Вышло, что плотник сумел квадрат в 64 см2 обратить в прямоугольник с площадью 65 см2. Как такое могло получиться? Разбор софизма: В софизме допущена неточность при укладывании частей, составляющих квадрат, показанный на рисунке а, в новом порядке, показанном на рисунке б. Дело в том, что BE только на глаз является прямой. На самом деле BE является ломаной, т. е. точки В, С и £ не лежат на одной прямой. Легко догадаться, что между верхней и нижней частями прямоугольника б, отделенными друг от друга прямыми ВС и СЕ, имеется маленький зазор, площадь которого как раз равна 1 см2, что и делает площадь прямоугольника большей на 1 см2 площади квадрата а. Таким образом плотнику всё равно придётся замазывать небольшую щель.

«Новое доказательство» теоремы Пифагора» Возьмём прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой c и острым углом , противолежащим катету a. Имеем: a = c sin , b = c cos , откуда a2 = c2 sin2 , b2 = c2 cos2 . Просуммировав по частям эти равенства, получаем: a2 + b2 = c2 (sin2  + cos2 ). Но sin2  + cos2  = 1, и поэтому a2 + b2 = c2. В чём ошибка? Разбор софизма: Ошибки здесь нет. Но формула sin2  + cos2  = 1 сама выводится на основании теоремы Пифагора.

Логические софизмы Софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком, игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

«Софизм учебы» песенка, сочиненная английскими студентами: The more you study, the more you know The more you know, the more you forget The more you forget, the less you know The less you know, the less you forget The less you forget, the more you know So why study? Перевод Чем больше учишься, тем больше знаешь. Чем больше знаешь, тем больше забываешь. Чем больше забываешь, тем меньше знаешь. Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь. Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь. Так для чего учиться?

Последние годы нашей жизни короче, чем первые  Известно старое изречение: в молодости время идёт медленнее, а в старости скорее. Это изречение можно доказать математически. Действительно, человек проживает в течение тридцатого года 1/30 часть своей жизни, в течение сорокового года - 1/40 часть, в течение пятидесятого - 1/50 часть, в течение шестидесятого - 1/60 часть.    Совершенно очевидно, что 1/30 >, 1/40 >, 1/50 >, 1/60, откуда ясно, что последние годы нашей жизни короче первых. Разбор софизма: Действительно, 1/30>,1/40>,1/50. Но неверно утверждение, что в течение тридцатого года человек проживает 1/30 часть жизни, он проживает 1/30 только той части жизни, которую он к этому моменту прожил, но именно части, а не всей жизни. Нельзя сравнивать между собой части различных отрезков времени.

Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому. Верно ли приведенное суждение? Разбор софизма: Ясно, что приведенное рассуждение неверно, так как в нем применяется неправомерное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно. «Полупустое и полуполное»

Вес слона равен весу комара Пусть х – вес слона, а у- вес комара. Обозначим сумму этих весов 2n: x+y =2n. Из этого равенства можно получить еще два: x – 2n = -y и x =-y +2n. Перемножим почленно эти два равенства x2- 2nx = y2-2ny. Прибавим к обеим частям последнего равенства по n2: x2- 2nx + n2 = y2-2ny+ n2 или (x– n)2 = (y – n)2 Извлекая квадратный корень из обеих частей последнего равенства, получим: x – n= y – n или x = y, т.е. вес слона равен весу комара! В чем здесь дело? Эта нелепость получилась вследствие небрежности при извлечении квадратного корня

«Чётное и нечётное» 5 есть (два и три). Два – число чётное, три – нечётное, выходит, что пять – число и чётное и нечётное. В этом софизме налицо неверное применение правил математики. Решение. Ведь четным числом называются числа, делящиеся на 2 без остатка и которое можно представить в виде 2m. Нечетным числом называется целое число, не делящееся на 2 без остатка и которое можно представить в виде 2m + Соответственно не существует такого целого числа, которое обладало бы свойствами и четного и нечетного числа. А данное утверждение неверно.

Пропавший рубль Три подруги выпили кофе. Официант принес счет на 30 рублей. Подруги заплатили по 10 рублей. Однако хозяин кафе решил, что поданный кофе стоит 25 рублей, и велел вернуть посетительницам 5 рублей. Официант побежал догонять девушек, но пока бежал, решил, что будет трудно делить на троих 5 рублей, и поэтому отдал им по рублю, а 2 рубля оставил себе. Что же получилось? Подруги заплатили по 9 рублей. 9*3 = 27 рублей, да 2 рубля остались у официанта. Решение. Задача сформулирована так, чтобы запутать того кто ее будет решать. Подруги заплатили 27 рублей, из этой суммы 25 рублей осталось у хозяина кафе, а 2 рубля - у официанта. И никакого пропавшего рубля!

«12 = 13» Администратор одной гостиницы решил разместить в 12 одноместных комнатах 13 человек, не допуская поселения в одной комнате двух человек. Предупредив тринадцатого (под этим номером занесенного в список приехавших), что он временно помещается в первой комнате, предприимчивый администратор принялся за размещение остальных по одному в каждой комнате, начиная с первой. В итоге в первой комнате оказалось 2 человека, третий человек был помещен во второй комнате, четвертый – в третьей, пятый – в четвертой и так далее до двенадцатого, который, очевидно, был вселен в одиннадцатую комнату. Двенадцатую комнату, которая, как видим, осталась свободной, администратор представил временному жильцу первой комнаты – тринадцатому клиенту гостиницы. Итак, 12 = 13. Решение. В рассуждении появилась скрытая ошибка, когда было сказано, что «в первой комнате оказалось 2 человека, третий человек был помещен во второй комнате». Слово «два» - количественное числительное, а «третий» - порядковое. Это дало возможность отвлечь читающего от факта, что второй клиент остался без комнаты.

Получил двойку – утверждай, что это пятерка (или a=b). Рассмотрим равенство a=b+c. Умножим обе его части на a-b, получим: a²-ab = ab+ac-b²-bc Перенесем ac в левую часть: a²-ab-ac = ab-b²-bc Общий множитель в левой и правой части вынесем за скобку: a(a-b-c)=b(a-b-c). Разделим обе части неравенства на a-b-c. Получится a=b. Разбор софизма : Вот уж действительно, если бы это доказательство было правильным, то каждый раз, получая в школе двойку, можно было бы думать, что получил оценку пять, так как по доказанному выше 5=2. Но делить обе часть на (a-b-c) нельзя, так как по определению a=b+c, отсюда (a-b-c)=0, а на ноль делить нельзя.

Числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

«45-45=45» Некто утверждал, что 45-45=45. Рассуждал он так: «Записываем вычитаемое в виде суммы последовательных натуральных чисел от 1 до 9, а уменьшаемое в виде суммы тех же чисел, но взятых в обратном порядке (от 1 до 9): 9+8+7+6+5+4+3+2+1 1+2+3+4+5+6+7+8+9 8+6+4+1+9+7+5+3+2 Будем последовательно вычитать числа второй строки из чисел первой. Например, так как 9 из 1 вычесть нельзя, то занимаем единицу из двух, имеем 11-9=2 и т. д. Теперь нетрудно установить, 8+6+4+1+9+7+5+3+2=45. Итак, 45-45=45». В чем здесь ошибка? Разбор софизма:  Ошибка состоит в том, что занимаемую единицу возводили в ранг десятка.

«Самое быстрое существо не способно догнать самое медленное» Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет медлительную черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет и это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.

6 кг=6000000 г, 2/3 кг=2/3 г. Известно: 2кг = 2000г, 3кг = 3000г. Умножим почленно эти равенства, получим: 6кг = 6000000г. А если разделим почленно - 2/3 кг=2/3 г. Разбор софизма: Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

«Пять равно шести» Возьмем тождество 35+10-45=42+12-54. В каждой части вынесем за скобки общий множитель: 5(7+2-9)=6(7+2-9). Теперь, получим, что 5=6. Где ошибка? Разбор софизма. Ошибка допущена при делении верного равенства 5(7+2-9)=6(7+2-9) на число 7+2-9, равное 0. Этого нельзя делать. Любое равенство можно делить только на число, отличное от 0.

Основные ошибки, “прячущиеся” в математических софизмах: Деление на 0, Неправильные выводы из равенства дробей, Неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения, Нарушения правил действия с именованными величинами, Проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла, Неравносильный переход от одного неравенства к другому, Выводы и вычисления по неверно построенным чертежам, Неточное использование правил и формулировок, Ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами.

Деление на 0. «Пять равно шести» (Математика 5-6 класс) Возьмем тождество 35+10-45=42+12-54. В каждой части тождества вынесем за скобки общий множитель: . Теперь разделим обе части полученного равенства на их общий множитель (7+5-9), получим, что 5=6.

Неправильные выводы из равенства дробей «Всякое отрицательное число больше положительного, имеющего туже абсолютную величину» (Алгебра 8 класс) Нижеследующее рассуждение основано на утверждении: Если две дроби равны и в первой дроби числитель больше знаменателя, то и во второй числитель должен быть больше знаменателя, т. е. если а >,в то и c>,d. Запишем теперь очевидные равенства (число А 0) и . Из предыдущего видно, что оба отношения равны (-1), и поэтому мы можем записать (1) Но как известно, если две дроби равны, а в первой дроби числитель больше знаменателя (так как +А >,-А), то, следо¬вательно, и во второй дроби числитель должен быть больше знаменателя, таким образом необходимо, чтобы выполнялось неравенство -А>,+А.

Разбор софизма: Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правила действий с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями. Нарушение правил действия с именованными величинами «Один рубль не равен ста копейкам» (Математика 5-6 класс) Известно, что любые два равенства можно перемножить почленно, не нарушая при этом равенства, т. е. если а = b и c = d, то ac = bd. Применим это положение к двум очевидным равенствам: 1 рубль = 100 копейкам и 10 рублей = 1000 копеек. Перемножая эти равенства почленно, получим 10 рублей = 100 000 копеек и разделив последнее равенство на 10, получим, что 1 рубль = 10 000 копеек. Таким образом, один рубль не равен ста копейкам. Где ошибка?

Проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла. «Восемь равно шести» Решим систему двух уравнений Сделаем это подстановкой у из 2-го уравнения в 1, получаем х+8-х=6, откуда 8=6. Где ошибка? Решение: Уравнение (2) можно записать как х+2у=8, так что исходная система запишется в виде: Х+2у=6, Х+2у=8. В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые у=3-х/2 и у=4-х/2 параллельны и не совпадают. Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Неравносильный переход от одного неравенства к другому «Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В» (Алгебра 8 класс) Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что А>,В. Умножим это неравенство на В, получим новое неравенство АВ>,В2, а отняв от обеих его частей А2, получим неравенство АВ-А2>,В2-А2, которое равносильно следующему: А(В-А)>,(В+А)(В-А) (1) После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получаем, что А>,В+А, (2), а прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>,В, имеем 2А>,2В+А, откуда А>,2В. Итак, если A>,B, то A>,2B. Это означает, например, что из неравенства 6>,5 следует, что 6>,10.

Возьмем два произвольных неравных между собой числа а и b и запишем для них очевидное тождество a2 – 2ab + b2 = b2 – 2ab + a2 . Слева и справа стоят полные квадраты, т.е. можем записать (a2 – b2)=(b2 – a2). Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратный корень, получим a – b = b – a или 2a = 2b, или окончательно a = b. «Все числа равны между собой» Разбор софизма : Исходное тождество и равенство (a2 – b2)=(b2 – a2) вполне справедливы. Но при переходе от этого равенства к равенству a – b = b – a была совершена ошибка. А именно: извлечение корня из обеих частей первого равенства сделано неправильно. В действительности же вместо равенства a – b = b – a из первого равенства должно следовать: |a - b|=|b - a|, которое вытекает из данных соотношений.Здесь необходимо рассмотреть два случая a – b >,=0, тогда, очевидно, b - a<,=0. Тогда из равенства следует a – b = - (b - a), или a = a. a – b <, 0 , тогда b – a >, 0,откуда следует, что - (a - b) = b – a, или a = a.

Выводы и вычисления по неверно построенным чертежам «Внешний угол треугольника равен внутреннему, не смежному с ним» (Геометрия 8 класс) Из геометрии известно, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Рассмотрим четырехугольник ABCD, такой, в котором (1) Через точки А, D и С проведем окружность, которая пересекает стороны АВ и ВС в некоторых точках Е и F. Соединив точку С и Е получим вписанный в эту окружность четырехугольник ADCE. Но сумма противоположных углов всякого вписанного четырехугольника, как известно, равна 1800, поэтому (2) Сравнивая равенства (1) и (2), получим , откуда получаем равенство , означающее, что угол АЕС, являющийся внешним углом треугольника ВСЕ, равен одному из внутренних углов этого же треугольника, а именно углу АВС, не смежному с этим внешним. Получилось противоречие с известной теоремой о свойстве внешнего угла треугольника.

Неточное использование правил и формулировок «В любой окружности хорда, не проходящая через её центр, равна её диаметру» (Геометрия 7 класс) В произвольной окружности проводим диаметр АВ и хорду АС. Через середину D этой хорды и точку В проводим хорду BE. Соединив точки С и Е, получаем два треугольника ABD и CDE. Углы ВАС и СЕВ равны как вписанные в одну и ту же окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу, углы ADB и CDE равны как вертикальные, стороны AD и CD равны по построению. Отсюда заключаем, что треугольники ABD и CDE равны (по стороне и двум углам). Но стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, сами равны, а потому АВ=СЕ, т. е. диаметр окружности оказывается равным некоторой (не проходящей через центр окружности) хорде, что противоречит утверждению о том, что диаметр больше всякой не проходящей через центр окружности хорды.

Ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами «Сумма слагаемых изменяется от перегруппировки слагаемых» (Алгебра 9 класс)

Способ нахождения ошибки в софизме 1. Внимательно прочитать условие предложенной вам задачи. Начинать поиск ошибки лучше с условия предложенного софизма. В некоторых софизмах абсурдный результат, получается, из-за противоречивых или неполных данных в условии, неправильного чертежа, ложного первоначального предположения, а далее все рассуждения проводятся верно. Это и вызывает затруднения при поиске ошибки. Все привыкли, что задания, предполагаемые в различной литературе, не содержат ошибок в условии и, поэтому, если получается неверный результат, то ошибку они ищут непременно по ходу решения. 2. Установите области знаний (темы), которые отражены в софизме, предложенных преобразованиях. Софизм может делиться на несколько тем, которые потребуют детального анализа каждой из них. 3. Выясните, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул, соблюдена ли логичность. Некоторые софизмы построены на неверном использовании определений, законов, на «забывании» условий применимости. Очень часто в формулировках, правилах запоминаются основные, главные фразы и предложения, всё остальное упускается. И тогда второй признак равенства треугольников превращается в признак «по стороне и двум углам». 4. Проверяйте результаты преобразования обратным действием. 5. Часто следует разбить работу на небольшие блоки и проконтролировать правильность каждого такого блока.

Примеры шуточных софизмов

Софизм «Вор» Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего. Разбор софизма :Читая данный софизм нельзя сразу обнаружить ошибку в рассуждении софиста. Кажется что все его суждения верны, но общий вывод невольно заставляет нас улыбнуться. Кто может поверить, что вор желает хорошего? Да, вор желает хорошего… но только для себя! А не для того человека у которого он собирается «приобрести» «хорошее». Здесь автор совершает ошибку, рассматривая только желания вора …

Куча – это сколько? Встретились два приятеля. Один спросил другого: — Видишь кучу песка? А ведь на самом деле ее нет. — Почему? — удивился второй. — Очень просто, — сказал первый. -  Давай рассуждать: одна песчинка не образует кучи песка. Если n песчинок не могут образовать кучи песка, то и после прибавления еще одной песчинки они по-прежнему не могут образовать кучи. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучи, а это значит, что кучи песка нет. Разбор софизма :  В данном рассуждении не определено понятие «кучи песка». И данный метод нельзя  применять в задачах, подобных этой.

Софизм «Рогатый» Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога. Разбор софизма : Ошибка состоит в неправомерном переходе от общего правила к частному случаю, который этим правилом не предусмотрен. Действительно, начало первой фразы: То, что ты не потерял... подразумевает под словом то - все, что ты имеешь, и ясно, что в него не включены рога. Поэтому заключение ты имеешь рога неправомерно.

«Девушка – не человек» Девушка — человек. Девушка — молодая, значит девушка — молодой человек. Молодой человек — это парень. Значит девушка — не человек.

«Парни не пейте кефир»

Исследовательская часть Знакомо ли вам понятие «Софизм»? Да ответило- 30 человек. Нет – 57 человек. Хотелось ли вам узнать, что такое софизмы? Да ответило- 60 человек. Нет –27 человек. Знаете ли вы, откуда «пришли» к нам софизмы? Да ответило- 15 человек. Нет – 72 человека. Знаете ли вы в чем хитрость софизмов? Как их распознать? Да ответило - 23 человека. Нет – 64 человека. Знаете ли Вы, что такое математические софизмы? Да ответило - 40 человека. Нет – 37 человека.

Результаты анкетирования:

4 · 4 = 25 16: 16 = 25: 25 (Это очевидное равенство). После вынесения за скобки общего множителя из каждой части этого равенства будем иметь: 16(1: 1) = 25 (1: 1). Зная, что 1 : 1 = 1, получаем:16 =25 или 4 · 4 = 25. Разбор софизма : Ошибка заключается в том, что распределительный закон умножения автоматически переносится на деление, что неверно.

«Сокращение дроби» Ученик следующим образом выполнил сокращение дроби, получив верный результат. Правильно ли выполнено сокращение? Решение: Сокращение – это деление числителя и знаменателя на одно и то же число, отличное от нуля (т.е. на их общий множитель). В случае ученика он выполнил сокращение не только на общий множитель отдельных слагаемых, но и сократил число и показатель степени.

1. По ночам занятий нет, значит, половина суток свободна. Остается 365 – 182 =183 дня. 2. В школе ученики занимаются половину дня, значит, вторая половина (или четвертая часть суток) может быть свободна. Остается 183 – 183 : 4 137 дней. 3. В году 52 воскресенья. Из них на каникулы приходится 15 дней, таким образом выходных в учебном году 52 – 15 = 37 дней. Итого остается 137 – 37 = 100 дней. 4. Но есть ещё каникулы: осенние ( 5 дней), зимние ( 10 дней), весенние ( 7 дней), летние ( 78 дней). Всего 5 +10 + 7 + 78 =100 дней. 5. Итак, школьники заняты в году 100 – 100 = 0 дней. Когда же учиться ?! Где ошибка в рассуждениях ? Разбор софизма: Каникулы и воскресенья подсчитаны дважды. Софизм «Когда же учиться?»

«Уравнение x-a=0 не имеет корней» Дано уравнение x-a=0. Разделив обе части этого уравнения на x-a, получим, что 1=0. Поскольку это равенство неверное, то это означает, что исходное уравнение не имеет корней. Где ошибка? Решение: Поскольку x=a – корень уравнения, то, разделив на выражение x-a обе его части, мы потеряли этот корень и поэтому получили неверное равенство 1=0.

Результаты исследования На диаграмме показан результат моего исследования. На ней изображено то, что из 15 учащихся принявших участие в эксперименте найти ошибку в первом софизме смогли только трое, остальным 12-ти это было не по силам, во втором софизме 5 учащихся смогли найти ошибку, остальным 10-ти это было не по силам, в третьем софизме 2 учащихся смогли найти ошибку, остальным 13-ти это было не по силам, в четвёртом софизме 4 учащихся смогли найти ошибку, остальным 11-то это было не по силам. Ведь для того чтобы найти ошибку необходимо внимание и умение логически мыслить.

Заключение О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Математические софизмы – это лишь часть одного большого течения. Софизмы играют большую роль в совершенствовании человеческого интеллекта и помогают в развитии мышления, сообразительности, внимания. Я познакомилась с увлекательной темой, узнала много нового, научилась решать задачки на софизмы, находить в них ошибку. Тема моей работы далеко не исчерпана. Я рассмотрела лишь некоторые, самые известные примеры софизмов. На самом деле их намного больше. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.