Презентация по геометрии на тему Окружность

Окружностью называется геометрическая фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от заданной точки на заданное расстояние. Эта точка называется центром окружности. О - центр окружности

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Точка, от которой равноудалены на заданное расстояние все точки окружности. О - центр окружности

Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, а также его длина, называется радиусом окружности. ОА- радиус окружности

Диаметром окружности называется хорда данной окружности, проходящая через ее центр. AB- хорда, проходящая через ее центр О

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой окружности, а также хордой ограниченного ею круга. А В АВ- хорда окружности

Теорема о диаметре, перпендикулярному к хорде Диаметр АВ, перпендикулярный к хорде СD, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Доказательство

Перегнем чертеж по диаметру АВ так, чтобы его левая часть упала на правую. Тогда левая полуокружность совместится с правой полуокружностью и перпендикуляр КС пойдет по KD. Из этого следует, что точка С, представляющая собой пересечение полуокружности с КС, упадет на D, поэтому СК= KD, BC= BD, AC= AD. BC= BD AC= AD

1. Диаметр, проведенный через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит дугу, стягиваемую ею, пoполам. 2. Диаметр проведенный через середину дуги, перпендикулярен к хорде, стягивающей эту дугу, и делит ее пополам.

Центральный угол Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.  АОВ - центральный угол

Вписанный угол Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. ABC -вписанный угол

Теорема о вписанном угле Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. АВС- вписанный угол АС- дуга окружности Доказательство 1 случай 2 случай 3 случай

Дано: окружность с центром О, ABC - вписанный Доказать: ABC = ½АС Доказательство: Рассмотрим случай, когда сторона ВС проходит через центр О Дуга АС меньше полуокружности, AОC = АС (центральный) 2. Рассмотрим ΔАВО, АО = ОВ (радиусы). ΔАВО равнобедренный 1 = 2, AОC – внешний угол ΔАВО, AОC = 1 + 2= 2 1 , следовательно ABC = ½АС

Дано: окружность с центром О, ABC - вписанный Доказать: ABC = ½АС Доказательство: Рассмотрим случай, когда центр О лежит внутри вписанного угла. 1. Дополнительное построение: диаметр BD 2. Луч ВО делит ABC на два угла 3.Луч ВО пересекает дугу АС в точке D 4. АС = AD + DC, следовательно ABD = ½АD и DBC = ½DС или ABD + DBC = ½АD + ½DС или ABC = ½АС

Дано: окружность с центром О, ABC - вписанный Доказать: ABC = ½АС Доказательство: Рассмотрим случай, когда центр О лежит вне вписанного угла. 1. Дополнительное построение: диаметр BD 2. Луч ВО не делит ABC на два угла 3.Луч ВО не пересекает дугу АС в точке D 4. АС = AD - CD, следовательно ABD = ½АD и DBC = ½DС или ABD - DBC = ½АD - ½DС или ABC = ½АС

1 2 3

1.Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, потому что каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

2. Всякий вписанный угол, опирающийся на диаметр, есть прямой, потому что каждый такой угол измеряется половиной полуокружности и, следовательно, содержит 90°.

3. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Теорема об угле, вершина которого лежит внутри круга Угол (ABC), вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух дуг (АС и DE), из которых одна заключена между его сторонами, а другая — между продолжениями сторон.

Теорема об угле, вершина которого лежит вне круга (угол между секущими) Угол ABC, вершина которого лежит вне круга и стороны пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью двух дуг АС и ED, заключенных между его сторонами. ABC =½ (АС –  ED )

Описанный угол (угол между двумя касательными) равен полуразности образованных им дуг. ABC =½ (АDС – AEC )

Угол между хордой и касательной равен половине дуги, заключенной внутри него. ABC =½ BEC

Угол между касательной и секущей равен полуразности образованных отсекаемых дуг, прилежащих к касательной. ABC =½ (АС – AD)

Длины Длина дуги окружности радиуса R с центральным углом   Длина окружности C радиуса R R

Площади Площадь S круга радиуса R Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в