Презентация по математике на тему Метод областей 11 класс

Работу выполнила учитель математики Распопина З.А. МБОУ «СОШ № 91 г. Новокузнецк» .

Блэз Паскаль Blaise Pascal (19.06.1623 –  19.08.1662) Выдающийся французский математик, физик и писатель, один из создателей математического анализа, проектной геометрии, теории вероятностей, гидростатики, создатель механического счетного устройства – «паскалева колеса» и наконец философ, чьи мысли оказывали влияние на многих выдающихся людей сказал:

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

«Предмет математики настолько серьёзен, что надо не упускать случая сделать его занимательным»

ВВЕДЕНИЕ Для успешного исследования многих задач повышенной сложности полезно уметь строить не только графики функций, но и множества точек плоскости, координаты которых удовлетворяют заданным уравнениям, неравенствам или их системам. Эффективно строить на координатной плоскости такие множества позволяет метод областей. Это весьма полезный прием можно назвать обобщающим методом интервалов

Метод областей особенно полезен при решении уравнений или неравенств с параметром. Применение метода интервалов в таких случаях затруднено, так как взаимное расположение точек, отмечаемых на числовой оси, может изменяться в зависимости от значений параметра. Это означает необходимость сравнивать их между собой и рассматривать различные случаи. В этой ситуации нам может помочь метод областей.

Рассмотреть «метод областей» как общий прием решения неравенств на плоскости, Применить «метод областей» к решению задач с параметрами. Показать типы задач, которые могут быть решены с помощью данного метода.

1) Рассмотрим f(х,у)=х(у-х)(у+х) f(х,у)=0, если х=0 или у-х=0 или у+х=0 у=-х у=х

f(1,0)=1∙(0-1)∙(0+1)=-1<,0 Заметим, что все прямые «порождены» сомножителями, входящими в функцию f(x) нечетным образом, и при переходе через любую из указанных трех прямых происходит смена знака этой функции. Поэтому в других областях знаки функции f(x) вычислять не требуется.

2) Рассмотрим f(х,у)= f(х,у)=0, если х=0 х=0 или у-х=0 или у+х=0 у=х у=х у=-х у=-х

f(1,0)=12∙(0-1)∙(0+1)=-1<,0 В отличии от примера 1 при переходе через прямую х=0 знак функции не меняется, так как соответствующий ей сомножитель входит в выражение для у=f(x) четным образом.( Как в случае кратных корней при решении неравенств методом интервалов) у=-х у=х

у=0 у=х Преобразуем неравенство: Рассмотрим f(х,у)= f(х,у)=0, если у=0, f(х,у) не существует, если х-у=0, если у=х, f(0,1)= 3)

4) у=х Рассмотрим f(х,у)= f(х,у)=0, если х-у=0 или у=х f(1,0)=(1-0)∙(1-02 +1)=2>,0

Найти наименьшее значение параметра а , при котором система имеет хотя бы одно решение: 1) На плоскости (х,а) изобразим множество точек, удовлетворяющих системе Рассмотрим f(х,а)= f(х,a)=0, если f(1,0)=0-|1|=-1<,0

Ответ: -1 Рассмотрим f(х,а)= f(х,a)=0, если Это квадратичная функция, график – парабола, ветви вверх, вершина (1,-1), х=1 ось симметрии. f(1,0)= 12 -2∙1-1=-2<,0 Наименьшее значение параметра а, при котором система имеет хотя бы одно решение равно -1

2) Найти наибольшее значение параметра а , при котором система имеет хотя бы одно решение: На плоскости (х,а) изобразим множество точек, удовлетворяющих системе Рассмотрим f(х,а)= f(х,a)=0, если f(1,2)=2-1=1>,0

2) Рассмотрим f(х,а)= f(х,a)=0, если f(0,0)=-2<,0 Наибольшее значение параметра а , при котором система имеет хотя бы одно решение равно 2. Ответ: 2

3)

Преобразуем систему: 1) Рассмотрим f(х,а)= f(х,a)=0, если Это квадратичная функция, график – парабола, ветви вверх, вершина (-2,-1), х=-2 ось cимметрии.

f(0,0)= 3>,0

2)Рассмотрим f(х,а)= f(х,a)=0, если Это квадратичная функция, график – парабола, ветви вниз, вершина (1, ), х=1ось cимметрии.

Ответ: -1 f(0,0)= -3<,0 Наименьшее целое значение параметра а , при котором система имеет единственное решение равно -1.

Готовимся к ЕГЭ! Найдите все значения а , при каждом из которых общие решения неравенств и образуют на числовой оси отрезок длины единица. Преобразуем систему

Рассмотрим f(х,а)= f(х,a)=0, если Это квадратичная функция, график – парабола, ветви вверх, вершина (1, 0), х=1 ось симметрии. f(0,0)=1-0>,0

Рассмотрим f(х,а)= f(х,a)=0, если Это квадратичная функция, график – парабола, ветви вниз, вершина (2, ), х=2 - ось cимметрии. f(0,-1)=4-5-4=-5<,0

Система неравенств имеет решение, если aϵ [0, ]. а=1 а= ¼ Решения неравенств образуют на числовой оси отрезок длины единица, при а=1 и а= ¼ а=0 а =

Ответ: а=1 и а= ¼ Действительно, точки (½,¼) и (³∕₂,¼) принадлежат графику а=(х-1)2 , расстояние между ними равно |³∕₂ - ½|=1. Расстояние между точками (1,1) и (2,1) графиков а= -1∕6 (х-2)2 +5∕4 и а=(х-1)2 равно |2-1|=1. Решения неравенств образуют на числовой оси отрезок длины единица, при а=1 и а= ¼

Таким образом: Метод областей можно назвать методом интервалов для плоскости. Его можно использовать для решения заданий ЕГЭ части С .

Найти наименьшее значение параметра «а» ,при котором система имеет хотя бы одно решение:

Найти наименьшее целое значение параметра «а» ,при котором система имеет хотя бы одно решение: Найти наибольшее значение параметра «а» ,при котором система имеет хотя бы одно решение:

Найти наибольшее целое значение параметра «а» ,при котором система имеет хотя бы одно решение:

Замечание: метод областей как таковой – лишь иллюстрация. Решение может считаться обоснованным, только если получены и выписаны уравнения всех линий, изображенных на рисунке, и приведены доказательства правильности расстановки знаков. Рисунок, естественно, должен быть выполнен по возможности аккуратнее. В частности, желательно указать, какие линии входят в рассматриваемое множество, а какие нет.

Математика для поступающих в серьезные вузы. О.Ю.Черкасов , А.Г.Якушев . – M.: Московский лицей, 2009. ЕГЭ 2014 математика .Федеральный институт педагогических измерений. Официальный разработчик контрольных измерительных материалов для ЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА. Общая редакция: А.Л.Семенов, И.В.Ященко.

учитель математики Распопина Зинаида Андреевна.