Презентация по математике Делимость чисел,11 класс

МБОО- Старокулаткинская сш №1 Презентацию на тему «Делимость чисел» выполнила ученица 11 класса Разакова Юлия Учитель математики Умярова Р.А.

Делимость чисел

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Тематические блоки заданий базового уровня Задание 9 – перевод одних единиц измерения в другие Задание 10 – теория вероятностей и математическая статистика Задание 14 – исследование характера функции, без вычисления производной Задание 17 – сравнение различных величин, не находя их точных значений Задание 18 – сформированность общей логической культуры Задание 19 – конструирование числа с заданными свойствами Задание 20 – задача на «смекалку».

Пусть даны два натуральных числа а и b. Если существует такое q, что выполняется равенство a= bq, то говорят, что число a делится на число b.

Свойства делимости:

2 Для того чтобы натуральное число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра делилась на 2. 5 Для того чтобы натуральное число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра делилась на 5(т.е. цифра единиц либо 0, либо5). 10 Для того чтобы натуральное число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0. Признаки делимости:

4 Для того чтобы натуральное число р, содержащее не менее трех цифр, делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 4 число, образованное двумя последними цифрами числа р. 25 Для того чтобы натуральное число р, содержащее не менее трех цифр, делилось на 25, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними цифрами числа р. 8 Для того чтобы натуральное число р, содержащее не менее четырех цифр, делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 8 число, образованное тремя последними цифрами числа р.

125 Для того чтобы натуральное число р, содержащее не менее четырех цифр, делилось на 125, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 125 число, образованное тремя последними цифрами числа р. 3 Для того чтобы натуральное число р делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3. 9 Для того чтобы натуральное число р делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.

11 Для того чтобы натуральное число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма его цифр, взятых со знаком плюс, если цифры находятся на нечетных местах(начиная с цифры единиц), и взятых со знаком минус, если цифры находятся на четных местах, делилась на 11. 7(13) Для того чтобы натуральное число делилось на 7(на13), необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих грани по три цифры в грани (начиная с цифры единиц), взятых со знаком плюс для нечетных граней и со знаком минус для четных граней, делилась на 7(на13).

Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Разложим число 20 на слага­емые различными способами:   20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5 = 8 + 6 + 6 = 7 + 7 + 6. При разложении способами 1-4, 7 и 8 суммы квадратов чисел не кратны трём. При разложении пятым способом сумма квадратов кратна девяти. Разложение шестым способом удовлетворяет условиям задачи. Таким образом, условию задачи удовлетворяет любое число, записанное цифрами 5, 7 и 8, например, число 578. Задания ЕГЭ

Найдите трёхзначное натуральное число, большее 400, которое при делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. Число имеет одинаковые остатки при делении на 5 и на 6, следовательно, число имеет тот же остаток при делении на 30, причём этот остаток не равен нулю и меньше пяти. Таким образом, искомое число может иметь вид: . При . Ни одно из чисел не больше 400 При : 421, 422, 423, 424. Первая слева цифра не является средним арифметическим двух других цифр При : 451, 452, 453, 454. Число 453 удовлетворяет всем условиям задачи.

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 4536. Приведите ровно один пример такого числа.  Число делится на 5, значит, его последняя цифра или 0, или 5. Но так как при записи в обратном порядке цифры также образуют четырёхзначное число, то эта цифра 5, ибо число не может начинаться с 0. Пусть число имеет вид . Тогда условие можно записать так: Второе слагаемое в левой части делится на 10. Значит, за разряд единиц в сумме отвечает только первое слагаемое. То есть откуда подставив полученное значение в уравнение, получим, что перебрав все пары b и с, которые являются решением этого равенства, выпишем все числа, являющиеся ответом: 9605, 9715, 9825, 9935.

Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. Чтобы число abcd делилось на 22, оно должно делиться и на 2, и на 11. Произведение цифр 24 можно представить многими способами, основой которых являются произведения. Признак делимости на 11: Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. Таким образом, a+c=b+d или a+c=b+d+11 или a+c+11=b+d. Кроме того, раз число делится на 2, то оно должно быть четным. Согласно перечисленным признакам можно подобрать следующие числа: 4312, 2134, 1342, 3124

Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. Чтобы число abcd делилось на 22, оно должно делиться и на 2, и на 11. Произведение цифр 40 можно представить многими способами, основой которых являются произведения. Признак делимости на 11: Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. Таким образом, a+c=b+d или a+c=b+d+11 или a+c+11=b+d. Кроме того, раз число делится на 2, то оно должно быть четным. Согласно перечисленным признакам можно подобрать следующие числа: 5412, 5214, 1452, 1254, 1518

Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 60. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. Чтобы число abcd делилось на 22, оно должно делиться и на 2, и на 11. Произведение цифр 60 можно представить многими способами, основой которых являются произведения - . Признак делимости на 11: Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. Таким образом, a+c=b+d или a+c=b+d+11 или a+c+11=b+d. Кроме того, раз число делится на 2, то оно должно быть четным. Согласно перечисленным признакам можно подобрать следующие числа: 5126, 2156, 6512, 1562

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 0 и делится на 24. Чтобы число делилось на 24 оно должно делится на 3 и на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры образуют число, делящееся на 8. Искомое число записывается только нулями и единицами, значит, оно заканчивается на 000. Число делится на 3, если его сумма цифр числа делится на 3. Поскольку три последние цифры числа нули, первые три должны быть единицами. Таким образом, единственное число, удовлетворяющее условию задачи, это число 111 000.

Найдите наименьшее трёхзначное натуральное число, которое при делении на 6 и на 11 даёт равные ненулевые остатки и у которого средняя цифра является средним арифметическим двух крайних цифр. По модулю 6 и 11 число имеет одинаковые остатки, следовательно, число имеет тот же остаток при делении на 66, причём этот остаток не равен нулю и меньше шести. Таким образом, искомое число может иметь вид: При получаем: 67, 68, 69, 70, 71. Все эти числа не являются трёхзначными. При получаем: 133, 134, 135, 136, 137. Число 135 удовлетворяет всем условиям задачи.

Найдите четырёхзначное число, кратное 11, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения. В ответ укажите какое-нибудь одно такое число. Если сумма цифр по условию меньше на 1 произведения цифр, то в этом числе не должно быть 0 т.к произведение цифр будет равно 0 =>, число оканчивается на 3. Сейчас наше число выглядит так XYZ3 Теперь нужно одновременно удовлетворить два условия одновременно: 1) сумма цифр меньше их произведения на 1 2) сумма цифр кратна 3 и 2 Методом подбора находим нужную комбинацию Если X, Y, Z=1, то сумма цифр будет больше произведения Если X, Y или Z=2, a 2 другие переменные =1, то 1+2=3 1*1*2*3=6 Эти цифры удовлетворяют условиям Ответ: число, состоящее из 1,1,2 и 3, причем 3 всегда последняя цифра (1123, 1213,2113)

http://mathb.reshuege.ru/ Мордкович.Учебник. Алгебра и начала математического анализа (часть1), 10 класс ФИПИ. Задания ЕГЭ , базовый уровень Литература: