Решение неравенств и уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

МБОУ «СОШ №6» Подготовила: учитель математики Шатлова Л.Н. Решение неравенств и уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

При решении уравнений и неравенств вида: IX – CI = M, IX – CI <, M, IX – CI >, M. используем понятие «расстояние между двумя точками координатной прямой». Повторим прием решения уравнений с модулем с использованием расстояния между двумя точками координатной прямой.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Пример 1. Решим неравенство: I X – 3 I <, 2 Решение: 1 3 5 x Отметим на координатной Прямой точку с координатой 3, Слева от нее точку с координатой 1 (3 -2 =1) и справа от неё точку с координатой 5 (3+2=5). Все точки, заключенные между точками 1 и 5, и только эти точки, удалены от точки с координатой 3 на расстояние не больше чем 2 единицы. Значит искомое множество есть числовой промежуток (1,5) .

А теперь рассмотрим приём решения уравнений с модулем без использования геометрических представлений. Но сначала вспомним определение модуля!!! X, если X >, 0 IX I = -X , если X <, 0

Пример №2 Решим уравнение IХ – 5I =3. Так как модуль х-5 равен 3, то по определению модуля числа значение выражения под знаком модуля равно либо 3, либо -3. Имеем совокупность двух уравнений Х-5=3 или х-5=-3 Х1=8 Х2=2 Вообще уравнение If (x)I =b, где b – положительное число, равносильно совокупности двух уравнений: f(x)=b или f(x)=-b Рассмотрим решение уравнения вида If(x)I = g(x). Если Х0 – корень этого уравнения, то f(Х0) =g(X0) – верное равенство, при этом g(X0)>, 0, так как модуль числа всегда неотрицательное число. Отсюда следует, что f(Х0)= g(X) или f(Х0)= -g(X0) .

Значит уравнение If(x)I = g(X0) равносильно совокупности двух систем: f(x)=g(x) g(x) >, 0 f(x)=-g(x) g(x)>, 0

Пример№3. Решим уравнение: Iх2+3х-10I =3х-1 Это уравнение равносильно совокупности двух систем: х2+3х-10=3х-1, х2-9=0 3х-1>, 0, х >, 1/3 х2+3х-10=1-3х, или х2+6х-11=0 3х-1>, 0. х >, 1/3 Из корней х1=-3 и х2=3 уравнения х2-9=0 удовлетворяет первой системе лишь х2=3.

Из корней х3=-3-2√5 и х 4=-3+2√5 уравнения х2+6х-11=0 второй системе удовлетворяет лишь х 4=-3+2√5, так как -3+2√5 =-3+2*2,2=1,4, 1,4>,1/3, а х3<, 1/3. Ответ:3, -3+2√5 .

Пример №4 Решим уравнение: Iх2 -5х+7I = I2х-5I . Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: х2-5х+7=2х-5 х2-5х+7=5-2х Решим первое уравнение: Х2-7х+12=0, х1=3, х2=4. Решим второе уравнение: Х2-3х+2=0, х1 =1, х2=2. Ответ: 1,2,3,4.