Презентация по математике на тему Тригонометрические уравнения (10 класс)

Моя тригонометрия

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

*Условные обозначения : tan -тангенс cot - котангенс

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:  1. преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше )  2.   решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.   Методы решения тригонометрических уравнений. Существует семь основных методов решения  тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.  Этот метод нам хорошо известен из алгебры    ( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.  Этот метод рассмотрим на примерах.       П р и м е р  1.  Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .       Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:                                                                  sin x + cos x – 1 = 0 ,                                  преобразуем и разложим на множители выражение в                                левой части уравнения:

2. Разложение на множители.                                  П р и м е р   2.   Решить уравнение:  cos 2 x + sin x · cos x = 1.       Р е ш е н и е .     cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,                                               sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,                                               sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р   3.   Решить уравнение:  cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.       Р е ш е н и е .    cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,                                  2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,                                  cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,                                     cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,                               1).  cos 4x = 0 ,               2).  sin 3x = 0 ,          3). sin x = 0 ,                              2. Разложение на множители.

3. Приведение к однородному уравнению.  Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла.  Чтобы решить однородное уравнение, надо:      а)  перенести все его члены в левую часть,    б)  вынести все общие множители за скобки,    в)  приравнять все множители и скобки нулю,    г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на          cos ( или sin ) в старшей степени,     д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р .   Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.       Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,                                sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,                                tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,                                корни этого уравнения:  y1 = -1,  y2 = -3,  отсюда                              1)   tan x = –1,                  2)   tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.  Рассмотрим этот метод на примере:       П р и м е р .  Решить уравнение:  3 sin x – 5 cos x = 7.      Р е ш е н и е .   6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =                                                                       = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,                       2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,                              tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.  Рассмотрим уравнение вида:                                              a sin x + b cos x = c ,       где  a, b, c – коэффициенты,  x – неизвестное. Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos   и sin   ( здесь   - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.  Здесь используются соответствующие формулы.          П р и м е р .  Решить уравнение:  2 sin 2x · sin 6x = cos 4x.       Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:                                           cos 4x – cos 8x = cos 4x ,                                                    cos 8x = 0 ,                                                    8x = p / 2 + pk ,                                                    x = p / 16 + pk / 8 .

7. Универсальная подстановка.  Рассмотрим этот метод на примере.                                                                                                                                                     П р и м е р .   Решить уравнение:  3 sin x – 4 cos x = 3 .