Презентация по математике на тему Решение уравнений(8-11 класс)

Выполнила: Трапезникова Ирина, учащаяся 9 МОУ ИРМО «Карлукская СОШ» Учитель: Тюкавкина Ирина Анатольевна МОУ ИРМО «Карлукская СОШ» Муниципальное образовательное учреждение Иркутского районного муниципального образования «Карлукская средняя общеобразовательная школа» Учебно-исследовательская работа по теме: «Некоторые способы решения уравнений высших степеней»

Гипотеза, Объект, Методы Гипотеза: Мы предполагаем, что те виды уравнений и способы их решения изложенные в нашем школьном учебнике, не позволяют в полной мере быть готовым к экзаменам, сдать ГИА на отлично. Объект исследования: уравнения Методы исследования: Анализ Сравнение объектов

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Цели, Задачи Цели: Мы решили исследовать ряд школьных учебников разных авторов, дополнительную литературу и найти другие способы решения уравнений. Задачи нашей работы: изучить другие школьные учебники, дополнительную литературу, Интернет сайты найти другие способы решения уравнений высших степеней сделать классификацию научится решать такие уравнения показать одноклассникам методы решения уравнений помочь одноклассникам при подготовке к ГИА изготовить справочное пособие для учащихся по решению уравнений высших степеней

Определения уравнений Уравнение называется алгебраическим, если над неизвестными не совершается иных действий, кроме сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня. В противном случае уравнение называется трансцендентным.

Классификация уравнений Алгебраические уравнения подразделяются на три типа: Целое алгебраическое уравнение (целые его части-целые алгебраические выражения относительно неизвестных). Дробное (рациональное) алгебраическое уравнение (содержит в знаменателе выражение, зависящее от неизвестных) Иррациональное уравнение (содержит под знаком корня выражение, зависящее от неизвестных) По числу неизвестных уравнения подразделяются на уравнения с одним неизвестным, с двумя, с тремя и т.д. Целое алгебраическое уравнение с одним неизвестным всегда можно преобразовать в равносильное уравнение вида

Способы решения Простейшие способы решения алгебраических уравнений: Разложение на множители Деление на многочлен По формулам

Разложение на множители методом выделения полного квадрата Приведем решение некоторого алгебраического Рn(x)=0, основанные на разложении его левой части – многочлена Рn(x). Это уравнение удобно решить путем выделения полного квадрата. Некоторые способы решения уравнений

Решить уравнение. Решение. Поскольку То данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений Второе уравнение этой совокупности решений не имеет, решения первого есть . Эти числа и являются решениями уравнения №1. Ответ:

Деление на многочлен Решить уравнение. Решение. Поскольку коэффициенты многочлен целые числа и старший коэффициент равен 1, то целые корни многочлена, если они есть, могут быть только среди чисел . Легко проверить, что x=1 есть корень многочлена. Значит, данный многочлен делится на х−1. Произведём деление многочлена на двучлен х−1 «столбиком»: Следовательно, = и исходное уравнение равносильно совокупности уравнений и откуда получаем, что решение исходного уравнения есть

По формулам Для любого приведённого квадратного уравнения (в котором старший коэффициент равен 1) х2+рх+q=0 справедлива формула Виета: ± Обозначим D=р−4q. Тогда формула имеет вид: Выражение D называют дискриминантом. При исследовании кВ. трехчлена смотрят на знак D. Если D0, то корней 2, вычисляются они по формуле Виета, если D=0, то один корень x= , если D0, то корней нет.

Кубические уравнения. Будем решать лишь уравнения вида Рассмотрим, как преобразовать уравнения общего вида к такому: Запишем формулу куба суммы сложим с первоначальным равенством и заменим на y: Теперь, после несложных преобразований, имеем:

Формула Кардано Запишем формулу куба суммы: теперь заменим (a+b) на x: Теперь видно, что исходное уравнение равносильно системе уравнений Эту систему можно решать по-разному, но результат один: Это и есть формула Кардано, часто использующаяся при решении кубических уравнений, когда обычные методы не помогают.

Метод Феррари Уравнения четвертой степени: Как и раньше избавляемся от подстановкой Идея в том, чтобы представить уравнение в виде , где , а B-линейная функция от Тогда останется решить уравнение А=±В. Возьмём Тогда, учитывая исходное равенство, получим: Если первая часть – квадрат, то её D=0 Пусть t0 – корень последнего уравнения. Тогда при t=t0 первая часть – квадрат. Получим схему: Решив эту систему, мы найдем решения исходного уравнения. Это и есть метод Феррари.

Вывод теоремы Виета Запишем формулу квадрата суммы (a+b)2=a2+2ab+b2 и заменим в ней а на х, b на теперь вычтем первоначальное равенство: теперь отсюда нетрудно получить нужную формулу.

Теорема Виета Для любого приведенного квадратного уравнения справедлива теорема Виета: Для любого уравнения n-ой теорема Виета также справедлива: коэффициент при взятой с противоположным знаком, равен сумме его n корней, свободный член равен произведению n его корней и числа

Заключение Проделанная мною работа, по поиску приемов решения уравнений высших степеней, не малая. Подобрана, изучена необходимая литература, сделана классификация уравнений, выявлены наиболее часто используемые методы и способы решения уравнений высших степеней, решено достаточное количество уравнений, кроме этого создано справочное пособие по решению уравнений. Я научилась решать некоторые уравнения сама и познакомила своих одноклассников с данными материалами. Думаю, что моим одноклассникам эта информация пригодится. Исследование по данному вопросу я думаю продолжить и хочу очень хорошо изучить решение уравнений n- степеней. Да, совершить открытие и провести научное исследование в науки математики очень, очень сложно, но изучить и взять на вооружение нужную информацию можно, нужно и просто необходимо.