Презентация по геометрии Правильные многогранники

Правильные многогранники Выполнила О.Б. Романько преподаватель математики ГБПОУ СПбТК, г. Санкт-Петербург

Л.Кэрролл. «Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Еще в древней Греции были известны пять удивительных многогранников. Их изучали ученые, ювелиры, священники, архитекторы. Этим многогранникам даже приписывали магические свойства.

Определение Многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники, из каждой его вершины выходит одинаковое число ребер , все двугранные углы равны. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA

Платоновы тела Древнегреческий ученый и философ Платон (IV–V в до н. э.) считал, что эти тела олицетворяют сущность природы. В своем диалоге «Тимей» Платон говорит, что атом огня имеет вид тетраэдра, земли – гексаэдра (куба), воздуха – октаэдра, воды – икосаэдра. Поэтому эти многогранники называют Платоновыми телами. В этом соответствии не нашлось места только додекаэдру и Платон предположил существование еще одной, пятой сущности – эфира, атомы которого как раз и имеют форму додекаэдра

Кубок Кеплера Иоганн Кеплер (1571-1630) в своей работе Тайна мироздания в 1596 году, используя правильные многогранники, вывел принцип, которому подчиняются формы и размеры орбит планет Солнечной системы. Такая модель Солнечной системы получила название Космического кубка Кеплера.

Типы правильных многогранников Существуют пять типов правильных многогранников: тетраэдр гексаэдр октаэдр додекаэдр икосаэдр Можно доказать, что других правильных многогранников не существует. http://polyhedron2008.narod.ru/pages/polyhedr.ht

Правильный тетраэдр Тетраэдр (tetra – четыре, hedra – грань). Правильный тетраэдр – четырехгранник, все грани которого – правильные треугольники.

Гексаэдр Гексаэдр ( hexa – шесть). Гексаэдр – шестигранник, все грани которого – квадраты.

Октаэдр Октаэдр (okto – восемь). Октаэдр - восьмигранник, все грани которого – правильные треугольники.

Додекаэдр Додекаэдр (dodeka – двенадцать) Додекаэдр - двенадцатигранник, все грани которого правильные пятиугольники.

Икосаэдр Икосаэдр (icosi – двадцать) Икосаэдр - двадцатигранник, у которого все грани – правильные треугольники.

Правильные многогранники в кристаллах В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учёными. Его кристалл имеет форму тетраэдра. Кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами , монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

Правильные многогранники в кристаллах Кристаллы сернистого колчедана – пирита - имеют форму додекаэдра. Правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора. Кристаллы алмаза представляют собой гигантские полимерные молекулы и обычно имеют форму октаэдров, ромбододекаэдров, реже — кубов или тетраэдров.

Правильные многогранники в живой природе Скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета.

Правильные многогранники в живой природе Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдра. Он может жить и размножаться исключительно в летках человека и приматов. Большинство вирусов имеют форму икосаэдра Только взяв на вооружение электронный микроскоп, биологам удалось сфотографировать вирусы и получить представление об их форме.

Можно увидеть также, что молекула ДНК представляет собой вращающийся куб. При повороте куба последовательно на 72 градуса по определённой модели, получается икосаэдр, который, в свою очередь, составляет пару додекаэдру. Таким образом, двойная нить спирали ДНК построена по принципу двухстороннего соответствия: за икосаэдром следует додекаэдр, затем опять икосаэдр, и так далее. Правильные многогранники в живой природе

Решение задач

Правильный тетраэдр Задача Вычислить угол θ, под которым видно ребро правильного тетраэдра из центра описанной сферы.

Задача 1. Рассмотрим правильный тетраэдр, ребро которого равно а, плоский угол при вершине равен γ, угол наклона ребра к плоскости основания равен β, двугранный угол при основании равен α. Вычислим величины этих углов.

Дано: PABC - правильный тетраэдр, ребро равно а, <,APC= γ, <,PAO= β, <,PHO= α. Вычислить величины этих углов.

Решение: 1. Плоский угол при вершине тетраэдра γ=60˚,т.к. это угол правильного треугольника. 2. Из треугольников POH и POА: o γ

Градусную меру угла можно вычислить с помощью инженерного калькулятора, округлив до нужной степени точности: α≈70,528º β≈54,735º

Задача №2. Вычислим высоту правильного тетраэдра. Решение: Из треугольника APO : А В С О Н Р β a

Задача №3 Вычислим радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра.

Пусть S – центр описанной сферы, тогда SP = SA = R, где R- радиус описанной сферы. Из треугольника ASO найдем SA = R. С

Вычислим угол θ, под которым видно ребро правильного тетраэдра из центра описанной сферы. S

Ответ: Дальше с помощью инженерного калькулятора вычисляем приближенное значение угла θ ≈ 109°27´.

Геометрия и химия Эта величина знакома нам из курса химии: в молекуле метана, которая имеет форму правильного тетраэдра, это угол между связями С–Н. Этот факт подтверждается фотографиями молекулы метана, полученными при помощи электронного микроскопа.