Презентация по математике на тему Предел функции в точке и на бесконечности (11 класс)

Число А называется пределом функции у=f(x), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>,0, найдется такое положительное число S, что при всех |x|>,S, выполняется неравенство:

При достаточно больших по модулю значениях х, значения функции f(x) очень мало отличаются от числа А (меньше, чем на число ε , каким бы малым оно не было). смысл определения:

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Рассмотрим геометрический смысл этого определения. Неравенство равносильно двойному неравенству что соответствует расположению части графика у=f(x) в полосе шириной 2ε.

Т.е. число А есть предел функции какой бы узкой она не была. если для любого, сколь угодно малого числа ε>,0, найдется такое число S, что при всех соответствующие ординаты графика функции у=f(x) будут заключены в полосе

Доказать, что Пример.

Т.е. для любого ε >,0 существует число Такое, что для всех х, таких что |x|>,S, выполняется неравенство: Для любого ε>,0 Решение.

Рассмотренное определение предела при x стремящемся к бесконечности предполагает неограниченное возрастание x по абсолютной величине. Можно сформулировать понятие предела при стремлении x к бесконечности любого знака, т.е. при Замечание 1.

В случае, когда неравенство должно выполняться при всех x таких, что х>,s. В случае, когда неравенство должно выполняться при всех x таких, что х<,-s. Перейдем к понятию предела функции в точке. Рассмотрим некоторую функцию у=f(x). Пусть эта функция задана в некоторой окрестности точки x0, кроме, может быть, самой этой точки.

Число А называется пределом функции у=f(x), при х→x0, (или в точке x0) если для любого, сколь угодно малого числа ε>,0, найдется такое положительное число δ, что при всех |x-x0|<, δ, выполняется неравенство:

При всех значениях х, достаточно близких к x0, значения функции у=f(x) очень мало отличаются по абсолютной величине от числа А (меньше, чем на число ε, каким бы малым оно не было). смысл определения:

Неравенство равносильно двойному неравенству Аналогично неравенство равносильно неравенству Это соответствует расположению части графика в полосе шириной 2ε и попаданию точки х в δ -окрестность точки x0.

Т.е. число А есть предел функции при х→x0, если для любого, сколь угодно малого числа какой бы узкой она не была. найдется такая δ–окрестность точки x0, что для всех х≠x0 из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции будут заключены в полосе

Доказать, что Пример.

Пусть ε=0.1 Тогда неравенство будет выполняться при Аналогично, при ε=0.01 Неравенство будет выполняться при Решение.

Т.е. для любого ε >,0 неравенство выполняется при Т.е. для любого ε >,0 существует число что для всех х, таких что |x-1|<,δ, выполняется неравенство:

Определение предела не требует существования функции в самой точке x0, т.к. рассматриваются значения функции в некоторой окрестности точки x0. Т.е. рассматривая предел мы предполагаем, что но не достигает значения x0. Замечание 2.

переменная x принимает значения только меньше x0 или, наоборот, больше x0, и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах соответственно справа и слева: Если при Замечание 3.

Определение этих пределов будет аналогично рассмотренному выше при Вместо значений x, удовлетворяющих условию рассматриваются такие x, что при и значения x, такие что при

Если пределы функции f(x) слева и справа одинаковы и равны А, то существует общий предел этой функции, также равный А: