Презентация Применение пифагоровых троек, 8 класс

ВГАСУ Всероссийский Конкурс исследовательских проектов, выполненных школьниками и студентами при научном консультировании ученых Международной ассоциации строительных вузов Выполнила Ученица 8 «Б» класса МКОУ Калачеевская СОШ №6 Кравченя Марина Михайловна учитель математики Руководитель МКОУ Калачеевская СОШ №6 Кашкина Антонина Владимировна Научный консультант кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Воронежского ГАСУ Глазкова Мария Юрьевна

ОГЛАВЛЕНИЕ 1.Введение 2. Основная часть 2.1 Теорема Пифагора -фундаментальное геометрическое утверждение   2.2Использование пропорций египетского треугольника  2.3 Свойства пифагоровой тройки ( 3,4,5 ) и способы нахождения других пифагоровых троек.  2.4 Практическое применение пифагоровых троек в решении задач   2.5 Применение теоремы Пифагора в различных областях деятельности человека. 3. Заключение 4. Библиографический список

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

ВВЕДЕНИЕ Актуальность темы: Сейчас пифагоровы тройки изучаются в контексте теоремы Пифагора и являются её целочисленными решениями, но мы хотим доказать, что пифагоровы тройки нужно изучать как самостоятельную тему в математике, т.к. она помогает при решении геометрических задач практического содержания в современной жизни. Цель исследования: Показать применение пифагоровых троек при решении жизненно важных задач. Научиться применять полученную модель на практике при решении геометрических задач.   Задачи исследования: Теорема Пифагора -фундаментальное геометрическое утверждение. Использование пропорций египетского треугольника. Свойства пифагоровой тройки ( 3,4,5 ) Нахождение других пифагоровых троек. Практическое применение пифагоровых троек.

2.1 ТЕОРЕМА ПИФАГОРА -ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Объектом нашего рассмотрения являются числа Пифагора, называемые также пифагоровыми тройками -тройки (x,y, z) натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению Пифагора Х2+У2=Z2.

2.2 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОПОРЦИЙ ЕГИПЕТСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

2.3 СВОЙСТВА ПИФАГОРОВОЙ ТРОЙКИ ( 3,4,5 ) И СПОСОБЫ НАХОЖДЕНИЯ ДРУГИХ ПИФАГОРОВЫХ ТРОЕК Пифагоровы числа обладают рядом интересных особенностей: Один из катетов должен быть кратным трём , Один из катетов должен быть кратным четырём , Одно из пифагоровых чисел должно быть кратным пяти. Пифагоровы тройки могут быть: примитивными (все три числа – взаимно простые), не примитивными (если каждое число тройки умножить на одно и то же число, получится новая тройка, которая не является примитивной).

2.4 ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПИФАГОРОВЫХ ТРОЕК В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ . Пифагоровы тройки имеют важное значение в геометрии. Рассмотрим задачи из учебника геометрии Л. А. Атанасян : № 483.Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по катетам а= 3/7, , b= 4/7. Решение. Умножим длины катетов на 7, получим два элемента из пифагоровой тройки 3 и 4. Недостающий элемент 5, который делим на 7. Ответ . № 498. Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами: а) 6,8,10 (пифагорова тройка 3,4.5) – да, б)5,6,7 Один из катетов прямоугольного треугольника должен делиться на 4. Ответ: нет.

СТАРИННЫЕ ЗАДАЧИ Задача о тросе: Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

ЗАДАЧА ИНДИЙСКОГО МАТЕМАТИКА XII ВЕКА БХАСКАРЫ . «На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в этом месте река В четыре лишь фута была широка Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?»

ЗАДАЧА ИЗ УЧЕБНИКА «АРИФМЕТИКА» ЛЕОНТИЯ МАГНИЦКОГО . «Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать.»

На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну. Попробуйте сами решить эту задачу. Естественно, при решении использовались пифагоровы тройки. Египетская задача о лотосе .

2.5 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА В РАЗЛИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ЧЕЛОВЕКА. Мобильная связь: Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.) Решение:   Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км. OB=OA+AB OB=r + x. Используя теорему Пифагора, получим 2,3 км.

МОЛНИЕОТВОДЫ Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту. Решение: По теореме Пифагора h2 ≥ a2 + b2, значит h ≥ (a2 + b2)1/2. Ответ: h ≥ (a2 + b2)1/2

СТРОИТЕЛЬСТВО КРЫШИ При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м, и AB=BF.  Решение: Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м., BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м., тогда: А) Из треугольника DBC: DB=2,5 м.,  Б) Из треугольника ABF:  AF= 5,7

КОСМОНАВТИКА 12 апреля 1961 года Ю.А. Гагарин на космическом корабле “Восток” был поднят над землёй на максимальную высоту 327 километров. На каком расстоянии от корабля находились в это время наиболее удалённые от него и видимые космонавтом участки поверхности Земли? (Радиус Земли ≈6400 км).

.ММ МОРЕПЛАВАНИЕ От пристани одновременно отплыли два корабля:один на юг, со скоростью 16 морских миль в час, а другой на запад, со скоростью 12морских миль в час. Какое расстояние будет между кораблями через 2,5 часа(1 морская миля равна 1,85 км)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В своей исследовательской работе я поняла, что применение пифагоровых троек в решении задач позволяет экономить время, избегать вычислительных ошибок при решении задач из ОГЭ и ЕГЭ, что немало важно для выпускников . Я приобрела много новых научных знаний по этой теме и расширила свой кругозор. Я думаю, что цель и поставленные мною задачи были выполнены.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Интернет источники: 1.http://images.astronet.ru/pubd/2003/03/15/0001187674/file0013.gif 2.http://www.peoples.ru/science/mathematics/pifagor 3.http://th-pif.narod.ru/biograph.htm 4. http://ru.wikipedia.org – Википедия – свободная энциклопедия 5.http://www.nigma.ru – интеллектуальная поисковая система1. Литература 1.Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразовательных учреждений /Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 13-е изд.. – М. : Просвещение,2003. – 384 с. : ил. 2. (Деза Е.И. Числа Пифагора. Эл.курс Журнал «Математика в школе» )Практическое применение 3. Журнал «Математика в школе» №1, 1965 год. 4. Контрольно-измерительные материалы ЕГЭ. 5. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – Д.: ВАП, 1994. – 200 с. 6. Теорема Пифагора и пифагоровы тройки глава из книги Д. В. Аносова «Взгляд на математику и нечто из нее»