Информационный проект Геометрия в природе

ИНФОРМАЦИОННЫЙ ПРОЕКТ по геометрии Руководитель проекта - учитель математики Дудко Юлия Александровна

«Геометрия в природе и язык форм» Авторы: Мухтарова Кристина Запара Татьяна 8 класс Вишневский филиал МБОУ «СОШ №4»с.Прохоры г.о. Спасск - Дальний 2015-2016 уч.год Название проекта

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

«Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам  искусства.»          Бертран Рассел

Почему многогранники это целый мир? Цель: доказать, что многогранники всюду окружают нас ПРОБЛЕМНЫЙ ВОПРОС

Задачи: Подтвердить фактами, что многогранники всюду окружают нас. Познакомиться с правильными, полуправильными, звездчатыми многогранниками. Вывести зависимость между ребрами, сторонами, гранями, вычислить их V, S, R, r. Пояснить, как получались многогранники. Выполнить модели многогранников и продемонстрировать их.

СОДЕРЖАНИЕ 1. Определение правильных многогранников. 2. Виды многогранников и их свойства. 3.Формулы объёмов, поверхностей, радиусов сфер правильных многогранников. 4. Теорема Эйлера. 5. Историческая справка – «тела Платона». 6. «Тайна мироздания» по Кеплеру. 7. Как придумывали правильные многогранники. 8. Историческая справка о создании полуправильных многогранников. 9. Виды полуправильных многогранников. 10. Модели многогранников, выполненные учениками. 11. Чудо природы кристаллы. 12. Многогранник в драгоценных корнях. 13. Звездчатые многогранники и их развертки. 14. Звездчатые многогранники в ювелирной промышленности и архитектуре. 15. Снежинки - звездчатые многогранники. 16. Интерес художников и архитекторов к многогранникам. 17. Теория «Вирусов». 18. Фуллерены. 19. Кусудама. 20. Вариации на пчелинную тему. 21. Ромбододекаэдр. 22. Научная гипотеза. 23. Выводы. 24. Информационные ресурсы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРАВИЛЬНОГО МНОГОГРАННИКА Многогранник – это тело, поверхность которого состоит из частей плоскостей, ограниченных многоугольниками. Правильный многогранник – это многогранник, у которого все грани – равные между собой правильные многоугольники, из каждой его вершины выходит одинаковое число рёбер и все двугранные углы равны. Все грани таких многоугольников имеют одинаковое количество сторон, а из каждой вершины выходит одинаковое количество рёбер.

ВИДЫ МНОГОГРАННИКОВ Тетраэдр Гексаэдр Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр

все ребра равны, все плоские углы равны, все грани равные правильные многоугольники, все двугранные углы равны, все многогранные углы равные все многогранные углы имеют одно и то же число граней. СВОЙСТВА ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ Правильный многогранник Число граней- Г Число вершин-В Число рёбер- Р Тетраэдр 4 4 6 Куб 6 8 12 Октаэдр 8 6 12 Додекаэдр 12 20 30 Икосаэдр 20 12 30

ДОДЕКАЭДР Центр тяжести – середина отрезка, соединяющего центры противоположных граней. Угол между гранями равен 116° 34´ (180° - arctg 2). КУБ Центр тяжести – точка пересечения диагоналей. Угол между гранями равен 90°. ИКОСАЭДР Центр тяжести – точка пересечения диагоналей основного шестиугольника. Угол между гранями равен 138°11´. ОКТАЭДР Центр тяжести – точка пересечения диагоналей «основного» квадрата. Угол между граней равен 109°28´. ТЕТРАЭДР МЫ ВЫЧИСЛИЛИ ПЛОШАДИ И ОБЪЁМЫ, R и r.

Составили новую таблицу подсчётов Удивительная формула. Г + В = Р + 2 То есть число граней (Г) плюс число вершин (В) равно числу ребер (Р) плюс 2. Мы проверили правильность формулы на разных фигурах – кубе, пирамиде, тетраэдре, икосаэдре, произвольном многограннике, теле самой замысловатой формы. При любых деформациях любой из них формула Эйлера верна. название В Р Г Треугольная призма 4 6 4 Чет-я призма 8 12 6 Пят-я бипирамида 7 15 10 Додекаэдр 20 30 12 n-угольная пирамида n+1 2n n+1 n-угольная призма 2n 3n n+2

Все правильные многогранники были известны ещё в Древней Греции, и им посвящена заключительная, XIII книга знаменитых «Начал» Евклида. Их изучали учёные, ювелиры, священники, архитекторы. Этим многогранникам даже приписывались магические свойства. Древнегреческий учёный и философ Платон (IV-V в. до н.э.) считал, что эти тела олицетворяют сущность природы. В своём диалоге «Тимей» Платон говорит, что атом огня имеет вид тетраэдра, земли – гексаэдра (куба), воздуха – октаэдра, воды – икосаэдра. В этом соответствии не нашлось место только додекаэдру и Платон предположил существование ещё одной, пятой сущности – эфира, атомы которого как раз и имеют форму додекаэдра. Ученики Платона продолжили его дело в изучении перечисленных тел. Поэтому эти многогранники называются Платоновыми телами. КРАТКАЯ ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Рис. 11 Платон (~428– ~348 до н. э.) Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий»– огня, земли, воздуха и воды, а вид этих «стихий» имеет форму четырёх правильных многогранников. Итак, тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени, икосаэдр– как самый обтекаемый– воду, куб– самая устойчивая из фигур– землю, октаэдр– как самый «воздушный» по конструкции– воздух. Пятый - многогранник– додекаэдр– воплощал в себе «всё сущее», символизировал весь мир и небо и почитался главнейшим.

Воздух - октаэдр. Земля – куб. Вселенная – додекаэдр.

Иоганн Кеплер (1571-1630) в своей работе «Тайна мироздания» в 1597 году, используя правильные многогранники, вывел принцип, которому подчиняются формы и размеры орбит планет Солнечной системы. Модель солнечной системы из «Космографической тайны» (1596) имеет название «Космический кубок» Кеплера

Придумать правильный тетраэдр, гексаэдр, октаэдр было нетрудно, тем более что эти формы имеют природные кристаллы, например: гексаэдр – монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр – монокристалл алюмокалиевых квасцов (KALSO4)∙12H2O). Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS). Предполагают, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS) КАК ПРИДУМЫВАЛИСЬ ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ?

Чудо природы – кристаллы Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников: Шеелит,5см, найден в Китае. (блочное строение кристалла), Друза кристаллов кварца (горный хрусталь),  9см, найден на Урале. Гранаты: Андрадит и Гроссуляр ( найдены в бассейне реки Ахтаранда, Якутия)  К Р И С Т А Л К У П А Р О С А

Вслед за Евклидом изучением пяти правильных многогранников занимался Архимед (287 - 212 гг. до н. э.). Убедившись в том, что нельзя построить шестой правильный многогранник, Архимед стал строить многогранник, у которых гранями являются правильные, но не одноименные многоугольники, а в каждой вершине, как у правильных многогранников, сходится одно и то же число ребер. Так он получил полуправильные многогранники. Полуправильных многогранников имеется еще 14. 13 из которых впервые открыл и описал Архимед, - это тела Архимеда. ЕВКЛИД АРХИМЕД

Усеченный икосаэдр Курносый додекаэдр Усечённый тетраэдр Усеченный октаэдр Ромбокубооктаэдр Ромбоикосододекаэдр Курносый куб Усеченный додекаэдр Усеченный куб Усеченный икосододекаэдр Усеченный кубооктаэдр Икосододекаэдр Кубооктаэдр П о л у п р а в и л ь н ы е м н о г о г р а н н и к и

МОДЕЛИ МНОГОГРАННИКОВ ФУТБОЛЬНЫЕ МЯЧИ – ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Многие гранильщики драгоценным камням стараются придать бриллиантам форму тетраэдра, куба, октаэдра, икосаэдра. МНОГОГРАННИК В ДРАГОЦЕННЫХ КАМНЯХ

Кроме правильных и полуправильных многогранников красивые формы имеют так называемые звездчатые многогранники. Их всего 4. Первые два были открыты И. Кеплером, а два других почти 200 лет спустя построил Л. Пуансо (1777-1859). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники называются телами Кеплера Пуансо. Они получаются из правильных многогранников продолжением их граней или ребер. Из тетраэдра, куба и октаэдра звездчатые многогранники не получаются. 1 2 3 4

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Библиотека в Дамаске Проект Административного Здания в Италии

Простые на первый взгляд снежинки столь же уникальны как и человеческая личность — на свете не найти двух одинаковых. Не бывает пятиугольных или семиугольных снежинок. Все снежинки имеют строго шестиугольную форму. СНЕЖИНКИ - это звездчатые многогранники. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Впервые закон постоянства углов между гранями кристалла для частного случая кристалликов льда - снежинок – установил И. Кеплер (1571-1630г.г.).

Картина художника Сальвадора Дали «Тайная Вечерия». На переднем плане картины изображен Христос со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра. В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявляли художники. Аьбрехт Дюрер (1471-1528) в его известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане изобразил додекаэдр

Голландский художник Мориц Корнилис Эшер (1898-1972)создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей. На гравюре Четыре тела Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные. В работе «Порядок и хаос» изящный звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором.

Наиболее интересной из работ является гравюра Звезды, на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким образом нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера.

Применения икосаэдров Титульный лист книги Ж. Кузена «Книга о перспективе». Надгробный памятник в кафедральном соборе Солсбери.

МНОГОГРАННИКИ В АРХИТЕКТУРЕ

«Со времен древнегреческих философов правильные многогранники считались не более, чем игрушкой для математиков, не имеющей никакого практического значения. Весьма замечательно, что как раз эти фигуры оказались в центре внимания биологов в их яростных спорах относительно точной формы вирусов», - это отрывок из книги крупнейшего специалиста в области структуры белка Джона Кендрью «Нить жизни». Вирусы. Кубическая Lithocubus geometricus Додекаэдрическая Circorhegma dodecahedra Очертание «тени» от вируса говорит о том, что само тело вируса имеет форму икосаэдра (Circogonia icosahedra) по форме напоминает икосаэдр. Вирус герпеса

Фуллерены - достаточно новое понятие в мире химии. Они очень интересны, свойства фуллеренов очень разнообразны, по строению молекулы фуллеренов - многогранники. Аллотропные модификации углерода (а – алмаз, б –графит, в- фуллерен)

В настоящее время понятие фуллерены применяется к широкому классу многоатомных молекул углерода Cn , где n = 60. Твердые тела, образованные этими молекулами обычно называют фуллеритами. фуллерен является третьей аллотропной формой углерода (первые две - алмаз и графит). Молекула фуллерена является органической молекулой, а сам фуллерен представляет собой молекулярный кристалл, являющийся связующим звеном между органической и неорганической материей. Простейший фуллерен С20 - додекаэдр

Название «фуллерен» было дано в честь известного американского архитектора Бакминстера Фуллера, предложившего строить ажурные куполообразные конструкции сочетанием пяти- и шестиугольников . На первый взгляд кажется, что конструкция собрана из треугольников, однако чередование пяти - и шестилучёвых центров как раз и соответствует строению фуллерена. Куполообразные конструкции Бакминстера Фуллера

Одной из моделей оригами является кусудама. Кусудама – это яркий многогранник, в котором японцы хранят сухие целебные травы. Его обычно подвешивают у постели больного: Но кусудама - это и просто красивое подвесное украшение. Считается, что даже без лечебной травы этот чудо-многогранник аккумулирует космическую энергию и благотворно влияет на человека. Так же кусудама передавалась из поколения в поколение как талисман и оберег семьи, как носитель положительной энергии. КУСУДАМА

ВАРИАЦИИ НА «ПЧЕЛИНУЮ» ТЕМУ Пчелиная ячейка имеет такой же объём, как и правильная шестиугольная призма, а так как площадь её поверхности меньше площади поверхности призмы, то остаётся удивляться экономности пчёл. «Геометры» экономят время и около 2 % воска. Количество воска, сэкономленного при постройке 54 ячеек, может быть использовано для одной такой же. Пчела из сказки «Тысяча и одна ночь» произнесла: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот». Бокова развертка пчелиной ячейки на рис.3. Рис.3 Пчелиные соты в разрезе на рис.4 Рис.4

Геометрические способности пчёл проявляются при построении сот. Если разрезать пчелиные соты, то станет видна сеть равных друг другу правильных шестиугольников ( рис.1), уложенных в виде паркета. Донышки не плоские, а в виде трёхгранных углов, грани равные ромбы как на (рис.2). « Почему они строят так?» «Почему донышки в форме трехгранного угла?» «Какая выгода для пчёл?» Рис.1 Рис.2 Пчелиные соты представляют собой пространственный паркет и заполняют пространство так, что не остается просветов.

РОМБОДОДЕКАЭДР Ромбододекаэдр –это двенадцатигранник, гранями которого являются ровные ромбы. Ему форму придумал не сам человек, его создала природа в виде кристалла граната. Любопытный факт. Все двугранные углы ромбододекаэдра равны, поэтому его ставят в один ряд с правильными многогранниками. Углы можно измерить прикладным гониометром. Если ромбододекаэдры приложить друг другу, то они заполняют всё пространство, образуя пространственный паркет

5. Прочитав книгу Смита «Драгоценные камни» мы узнали, что гранат - кроваво –красный пироп. Археологи считают самым древним украшением, так как был обнаружен в древнем неолите на территории современных Чехии и Словакии. Художественные изделия из гранатов были обнаружены в могилах Древнего Египта Свыше 2000 лет до н.э. Гранат высоко ценится знатоками драгоценных камней. Он применяется для изготовления первоклассных ювелирных изделий.

Самые лучшие богемские пиропы украшают ожерелье редкой красоты, связанные с именем великого поэта Иоганна Вольфа Гёте. Полюбив юную девушку Ульрику, поэт заказал у лучших чешских ювелиров гранатовый набор: ожерелье, поясную пряжку, серьги и перстень. В нём 460 гранатов! Сейчас он находится в музее города Тршебенице. В музее композитора Бедржиха Сметаны можно увидеть другой дар Любви – красное ожерелье из крупных гранатов, которые композитор подарил своей любимой жене. УКРАШЕНИЯ ИЗ ГРАНАТА А.И. Куприн в повести «Гранатовый браслет» говорит о том, что гранат имеет свойство сообщать дар предвидения носящим его женщинам и отгоняет от них тяжёлые мысли, мужчин же охраняет от насильственной смерти. Для выражения чувств своих героев автор не случайно выбирает именно гранат. В повести И.С. Тургенева «Вешние воды» девушка дарит на память герою маленький гранатовый крестик

Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место. НАУЧНАЯ ГИПОТЕЗА

Выводы: 1. Мы познакомились с различными многогранникам, научились их различать и изготовили модели разных видов. 2. Считаем, что в результате выполнения нашего проекта мы доказали, что многогранники окружают нас всюду.

Информационные ресурсы Информационные ресурсы Учебник геометрии 9класса Драгоценные камни \СмитГ.\ Кристаллы \М.П.Шаскольская \ Замечательные минералы \В.И.Собалевский\ 6. Рассказы о самоцветах \А.Е.Ферсман\ 7. Повести «Гранатовый браслет», «Вешние воды». 8. Геометрическая рапсодия М.Знание, 1976 9.Математический калейдоскоп М.Наука,1981 10. А. А. Дадаян « Математика» 2-е издание, издательство «ФОРУМ - ИНФРА-М», Москва, 2006 г, 11. А. П. Савина «Энциклопедический словарь юного математика», издательство «Педагогика», Москва, 1985 г. 12. Internet-ресурсы: WWW.Colledg.Ru, portfolio.1september.ru 13. Программное обеспечение: MS Word, MS Power Point,Visio, Сканер,Фотоаппарат.

Всем спасибо за внимание!