Презентация по геометрии на тему Комбинации многогранников в прикладных задачах (10 класс)

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 Методическое пособие для учащихся 10 классов «Комбинации многогранников в прикладных задачах». Составил учитель математики высшей категории Гавинская Елена Вячеславовна. г.Калининград 2016-2017 учебный год

Математика владеет не только истинной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства. Бертран Рассел.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Тема «Многогранники» - одна из основных тем в школьном курсе геометрии. В ней, по образному выражению академика А.Д. Александрова ,сочетаются «Лед» и «Пламя», т.е. живое воображение и строгая логика.

Сведения из истории о правильных многогранниках. Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н.э.) «Тимаус». Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами (хотя известны они были задолго до Платона). Каждый из правильных многогранников, а всего их пять, Платон ассоциировал с четырьмя «земными» элементами: земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с «неземным» элементом- вселенной (додекаэдр). Знаменитый математик и астроном Кеплер построил модель Солнечной системы как ряд последовательно вписанных и описанных правильных многогранников и сфер.

Начиная с 7 века до нашей эры, в Древней Греции создаются философские школы , в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства. Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики- это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов. (580 – 500 до н.э.)

Существование только пяти правильных многогранников относили к строению материи и Вселенной. Пифагорейцы, а затем и Платон, полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Согласно их мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел. ОГОНЬ-ТЕТРАЭДР. ВОЗДУХ-ОКТАЭДР. ВОДА-ИКОСАЭДР. ЗЕМЛЯ-ГЕКСАЭДР (КУБ). ВСЕЛЕННАЯ-ДОДЕКАЭДР. Платон

ОГОНЬ ТЕТРАЭДР ВОЗДУХ ОКТАЭДР ВОДА ИКОСАЭДР ЗЕМЛЯ ГЕКСАЭДР (КУБ) ВСЕЛЕННАЯ ДОДЕКАЭДР

ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА ТЕТРАЭДР Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов. Таким образом, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. КУБ Куб составлен из шести квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов. Таким образом, куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер ОКТАЭДР Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов. Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

ДОДЕКАЭДР Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер ИКОСАЭДР Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов. Таким образом икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.

ИТАК, ПРОБЛЕМА. В небольшой квартире очень мало места, некуда складывать книги, различные старые вещи, но, в то же время, громоздкие полки сужают пространство и не всегда вписываются в интерьер комнаты. Мелкие безделушки и статуэтки разбросаны по углам, но, к счастью, можно найти компромиссное решение!

Решение поставленной проблемы. Итак, спец-предложение: какая – то гипотетическая компания по разработке интерьера и новой мебели выпустила компактную полку-тумбочку, которая не займет слишком много места в квартире и будет необычным дополнением к образу комнаты. В ней поместятся некоторые книги, журналы и ненужные вещи, которые жалко выкинуть, также в верхней ее части можно расположить статуэтки, рамки для фотографий и многое другое.

Общий вид изделия.

Практическая задача. Для того, чтобы производители смогли затратить необходимое количество материала, который потребуется для изготовления нашей полки - тумбочки, нам необходимо высчитать площадь ее полной поверхности.

Геометрическая задача. В правильной усеченной пирамиде ABCDEFA1B1C1D1E1F1 проведено диагональное сечение- AA1D1D, а в правильной шестиугольной призме A1B1C1D1E1F1A2B2C2D2E2F2 - A1D1D2A2. Нижнее основание пирамиды A1B1C1D1E1F1 является верхним основанием для призмы. Высота пирамиды OO1=35 см, сторона нижнего основания пирамиды-A1B1=32 см, а верхнего- AB=18см. Боковое ребро пирамиды-AA1=60см, боковое ребро призмы B1B2=70 см. Найти площадь полной поверхности призмы, т.е.(Sполн.призмы), площадь сечений, площадь верхнего основания усеченной пирамиды и площадь ABCDA1B1C1D1A2B2C2D2 (площадь изделия). C2 B2

Исходные данные. Дано: ABCDEFA1B1C1D1E1F1-правильная усеченная пирамида, A1B1C1D1E1F1A2B2C2D2E2F2-правильная призма, A1D1D2A2 и AADD-диагональные сечения, B1B2=70см, A1B1=32см, AA1=60см, AB=18см, ОО1 перпендикулярен (A1B1C1), ОО1=35см. Найти: а)Sполн.призмы, Sсечений, SABCDEF . б) Sполн.ABCDA1B1C1D1A2B2C2D2 (Sизделия) C2 B2 C2 B2

Решение. 1)Sполн.призмы =SA1B1C1D1E1F1A2B2C2D2E2F2= =Sбок+2SA1B1C1D1E1F1 2)Достроим усеченную пирамиду ABCDEFA1B1C1D1E1F1 до пирамиды PA1B1C1D1E1F1. а)Т.к.ABCDEFA1B1C1D1E1F1-правильная усеченная пирамида, то PA1B1C1D1E1F1-правильная пирамида (по построению) и PABCDEF-правильная пирамида. б) Из т.O1 проведем O1A1, O1B1, O1C1, O1D1, O1E1, O1F1 3)а) Т.к. OO1 (A1B1C1) (по условию), то OO1 O1A1, OO1 O1B1 (по определению). б) B1B2 (A2B2C2)(по определению правильной призмы). 4)Т.к A1B1C1D1E1F1A2B2C2D2E2F2-правильная призма(по условию), то Sполн.призмы=Pосн h+ + 2SA1B1C1D1E1F1= a n B1B2+ 2 (3a2 /2) = =32 6 70+2(3 322 /2)=13440+ 3 1024= =3072 +13440=3072( +4,375) (см2)=1,88 (м2) 5)Т.к. A1B1C1D1E1F1 и ABCDEF- правильные шестиугольники(по определению прав. усеченной пирамиды), то R1=AB, R2=A1B1. 6) PO1B1= PO1C1= PO1D1=… PO1A1 (т.к. PB1=PC1= =…=PA1, (по св-ву правильной пирамиды), PO1-общая, PO1 O1В1 , P1O1 O1C1... P1O1 O1A1(т.к. PO-продолжение OO1(по построению)) O1B1=O1C1=O1D1…=O1A=R2, значит, R2=32(см)(по катету и гипотенузе). B2 C2

7) POA= POB=…= POF(т.к. PO-общая, PO OA,PO OB,…PO OF(PO-продолжение OO1), PA=PB=…=PF)(по св-ву прав. пирамиды) OA=OB=…=OF=R1, значит, R1=18(см). 8) SABCDEF= 3 /2 R12, SABCDEF=3 /2 182=486 (см2)=0,084(м2) 9) а)(ABC) (A1B1C1) (доказали) AA1D1D (ABC)=AD, AA1D1D (A1B1C1)=A1D1 AD A1D1(по св-ву) но, AA1 DD1=P (по построению ) AA1D1D-трапеция, т.е.SAA1D1D = = (AD+A1D1)OO1(где OO1 A1D1(по определению)),т.е. Sсечения1= = (2 18+2 32)35=1750(см2)=0,175(м2) . б) A1A2=D1D2, A1A2 D1D2(по св-ву призмы) A1A2D2D1-параллелограмм(по признаку), но D1D2 (A2B2C2) (по св-ву), значит, D1D2 A2D2(по определению) A1A2D2D1 -прямоугольник(по определению), т.е. SA1A2D2D1=A1A2 A2D2, т.е. Sсечения2=70 2 32=4480(см2)=0,448(м2) B2 C2

Чтобы найти площадь полной поверхности нашего изделия, т.е. площадь фигуры ABCDA1B1C1D1A2B2C2D2, нам необходимо вычислить половину от площади полной поверхности призмы, т.к. по условию задачи у нас проведено диагональное сечение этой фигуры, которое делит ее на две равные части, затем сложить площади граней OBB1O1, OCC1O1 с ½ верхнего основания усеченной пирамиды и, прибавив к этой площади-площади наших двух сечений, мы получим площадь полной поверхности изделия. B2 C2

10) Аналогично, как и в действии 9)а) можно доказать, что грани OBB1O1, OCC1O1,- трапеции, значит, их площади рассчитываются по формуле S=0,5(a+b)h. 11) Трапеции OBB1O1,OCC1O1-равные, т.к. все их стороны равны друг другу(OO1-общая,OB=OC,O1B1=O1C1,BB1=CC1(док-ли)), значит, SOCC1O1= 0,5 (OC+O1С1)OO1(т.к. OO1 O1C1 (доказали)) Sтрап.= 0,5(18+32)35=875 (см2)=0,875 (м2) . 12)SABCDEF=3 182 /2=486 (см2)=0,084(м2). 13)SABCDA1B1C1D1A2B2C2D2=0,5Sпризмы + +SAA1D1D+SA1A2D2D1 + 0,5 SABCDEF++2SOCC1O1 , Sизд.=0,94+0,175+ 0,448+ 0,042+2 0,875=3,415(м2). Ответ:3,415 м2 ЗНАЧИТ, площадь полки-тумбочки равна 3,415 м2. B2 C2

Когда мы стремимся искать неведомое нам, то становимся лучше, мужественнее и деятельнее тех, кто полагает, будто неизвестное нельзя найти и незачем искать. ПЛАТОН.