Презентация Решение задач с помощью кругов Эйлера

Цель работы: выявить, какие задачи можно решать с помощью кругов Эйлера.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Задачи: Познакомиться с биографией Л.Эйлера. Изучить теоретические сведения по теме «Круги Эйлера», Определить тип задач, которые можно решить с помощью кругов Эйлера Найти интересные задачи, для решения которых нужно использовать круги Эйлера. Решить эти задачи.

применение кругов Эйлера позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений и более с несколькими неизвестными Гипотеза:

Леонард Эйлер 1707-1783

Письма о разных физических и философических материях, написанные к некоторой немецкой принцессе..., где появились впервые «круги Эйлера»

Круги Эйлера – это особые чертежи, при помощи которых наглядно представляют отношения между множествами. Множества А и В имеют общие элементы, но ни одно из них не является подмножеством другого В А А В А = В Множества А и В не пересекаются А В А А А В В В А=В ∩ ∩

Пересечение множеств — множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат одновременно всем данным множествам.

Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В. А В

Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В. Разность А и В А А \ В В

Условия: В некотором городе 85% жителей знают немецкий язык,75% знают русский язык. Вопрос: Сколько % жителей знают оба языка. Решение: №1 №2

100-85=15% не знает немецкий язык, запишем число 15 в круг №2. №2 15 №1 25 100-75=25% не знает русский язык, запишем число 25 в круг № 1. Знают только 1 язык 25+15=40%, тогда знают оба языка 100-40=60%. 60 Ответ: 60%.

Условия: В классе 25 учащихся. Из них 5 человек не умеют играть ни в шашки, ни в шахматы. 18 учащихся умеют играть в шашки, 20 — в шахматы. Вопрос: Сколько учащихся класса играют и в шашки, и в шахматы? Решение: №1 №2

По условию задачи 5 человек не играют ни в шахматы, ни в шашки. Тогда 25-5=20 человек умеют играть в какую-либо из игр, или в обе игры. В шашки умеют играть 18 человек. В шахматы-20. Следовательно, только в шахматы играют 20-18=2 человека. Тогда только в шашки играют 18-18=0 человек. Значит и в шахматы, и в шашки играют 18 человек. 18 2 0 Ответ: 18 человек.

Условия: Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28, французским – 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским -10 , немецким и французским – 5, всеми тремя языками – 3. Вопрос: Сколько туристов не владеют ни одним иностранным языком? Решение: №1 №2 №3

5 2 7 3 Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3. Английским и французским языками владеют 10 человек, а 3 из них владеют ещё и немецким. Значит, английским и французским владеют 10-3=7 человек Английским и немецким языками владеют 8 человек, а 3 из них владеют ещё и французским. Значит, английским и немецким владеют 8-3=5 человек. Немецким и французским языками владеют 5 человек, а 3 из них владеют ещё и английским. Значит, немецким и французским владеют 5-3=2 человека. немецкий французский английский

20 30 13 2 5 7 3 Известно, что немецким языком владеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, значит, только немецкий знают 20 человек. Английский язык знают 28 человек, но 5+3+7=15 человек владеют и другими языками, значит, только английский знают 13 человек. Французский язык знают 42 человека, но 2+3+7=12 человек владеют и другими языками, значит, только французский знают 30 человек. По условию задачи всего 100 туристов. 20+30+13 +5+2+3+7=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним иностранным языком. Ответ: 20 человек. немецкий французский английский

выводы: 1) Все множества чисел связаны между собой так, что каждое следующее, более объемное, включает в себя предыдущее множество частично или полностью, 2) Применение кругов Эйлера позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными. 3) Круги Эйлера — наглядная геометрическая иллюстрация объемов понятий и отношений между элементами множествами.

Моя гипотеза подтвердилась - применения кругов Эйлера делает понятными условия и объяснения целого класса задач.

Условия: В классе 36 учеников. Многие из них посещают круж­ки: физический кружок посещают 14 человек, математический кружок посещают 18 чело­век, химический кружок посещают 10 человек. Кроме того, известно, что 2 человека посещают все три кружка, из тех, кто по­сещает два кружка, 8 человек занимаются в математи­ческом и физическом кружках, 5 — в математическом и химическом, 3 — в физическом и химическом. Вопрос: Сколь­ко человек не посещают никаких кружков?

Решение: №1 №2 №3

Все 3 кружка посещают 2 человека, значит в общую часть всех кружков впишем число 2. 2 №1 №2 3 №3 0 8 человек занимаются в математическом и физическом кружках, значит в общую часть математического и физического кругов и вписываем число 8. 8 5 человек занимаются в математическом и химическом кружках, значит в их общую часть вписываем число 5. 5 3 человека занимаются в физическом и химическом кружках, значит в их общую часть вписываем число 3. 3 Только физический кружок посещают 14-8-3-2=1 человек, значит в круг №1 впишем число1. 1 Только в математическом кружке занимаются 18-8-5-2=3 человека, значит в круг №2 впишем число 3. Только в химическом кружке занимаются 10-5-3-2=0 человек, значит в круг №3 впишем число 0.

1 8 3 3 2 5 0 В кружках занимается 1+8+3+3+2+5+0=22 человека. Так как в классе 36 человек, то не посещают никакие кружки 36-22=14 человек. Ответ: 14 человек.