Презентация по геометрии на тему Конус и его свойства

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 Методическое пособие для учащихся 10 классов Составил учитель математики первой категории Гавинская Елена Вячеславовна. «Конус и его свойства». г.Калининград 2015-2016 учебный год

Задачи на применение теоретических знаний о конусе всегда предлагаются на ЕГЭ по математике, а также конус имеет широкое прикладное значение, нашедшее место в архитектуре, быту, в современных технологиях и в других сферах деятельности человека.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Глава 1. Общее понятие конуса.

Термин «конус». Конус (греч.κωνος ) - сосновая шишка, остроконечная верхушка шлема или шишак. У Даля - тело в виде сахарной головы, круглый клин. У Евклида - вращение прямоугольного треугольника вокруг катета. У Аполлония - движение образующей вдоль круговой направляющей.

Евклид. Главный труд Евклида – «Начала» (лат. Elementa) - посвящен аксиоматическому построению геометрии и состоит из 13-ти книг, к которым присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках, иногда приписываемых Гипсиклу Александрийскому. Собственно геометрия прямых линий, кругов и плоских фигур заключается в первых шести книгах, а в пяти последних книгах изучаются поверхности и тела, в 7-й, 8-й и 9-й книгах рассматриваются свойства чисел, в 10-й рассматриваются в подробности величины несоизмеримые. В сети доступны греческий текст по изданию Гейберга, перевод на английский и русский языки. Следует подчеркнуть, что до настоящего момента не дошли более ранние произведения, в которых давались бы не рецепты вычислений и построений, но что-либо доказывалось, поздние античные произведения существенно уступают Евклиду. Этот труд оказывал огромное влияние на развитие математики вплоть до Новейшего времени. «Текст Начал» на протяжении веков был предметом дискуссий, и к нему были написаны многочисленные комментарии.

Аполлонний. Родился Аполлоний ок. 260 года до н. э. в городе Перга (Памфилия, Малая Азия), получил образование в Александрии, где он жил ок. 210 г. до н. э. Умер около 170 года до н. э. В математике он прославился выдающейся работой «Конические сечения» (8 книг), в которой дал содержательную общую теорию трёх важных кривых: эллипса, параболы и гиперболы. Именно Аполлоний предложил классические названия данных кривых, до него их называли просто «сечениями конуса». Он ввёл и другие математические термины, латинские аналоги, которые навсегда вошли в науку, в частности, асимптота, абсцисса, ордината, аппликата. Любопытно, что он, как и современные математики, рассматривал обе ветви гиперболы как единую кривую.

Понятие конической поверхности. Коническая поверхность образуется при движении прямой (AB), проходящей всё время через неподвижную точку (S), и пересекающей за данную линию MN, называемую направляющей. Прямые, соответствующие различным положениям прямой AB при её движении ( A’B’, A”B” и т.д. ), называются образующими конической поверхности. Точка S – вершина конической поверхности. Коническая поверхность состоит из двух частей: одна описывается лучом  SA, другая – его продолжением SB. Обычно в качестве конической поверхности рассматривают одну из её частей.

Понятие конуса. Конус – это тело, ограниченное одной из частей конической поверхности с замкнутой направляющей и пересекающей коническую поверхность плоскостью (ABC), не проходящей через вершину S.

Элементы конуса. Часть плоскости (ABC), расположенной внутри конической поверхности, называется основанием конуса. Перпендикуляр SO, опущенный из вершины S на плоскость основания основание, называется высотой конуса. Прямая SO, соединяющая вершину конуса с центром основания, называется осью конуса.

Глава 2. Виды конусов.

Виды конуса. Если высота кругового конуса совпадает с его осью, то такой конус называется круглым. Конус называется круговым, если его основанием является круг.

Коническая поверхность круглого конуса. Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости α этой окружности. Через точку Р и каждую точку окружности проведем прямую. Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью круглого конуса. Сами прямые называются образующими конической поверхности. Точка Р называется вершиной конической поверхности. Прямая ОР — ось конической поверхности.

Понятие круглого конуса как геометрического тела. Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется круглым конусом (или просто - конусом).

Элементы круглого конуса.

Круг с границей L называется основанием конуса. Вершина конической поверхности — вершина конуса. Отрезки образующих, заключенные между вершиной и основанием — образующие конуса. Образованная ими часть конической поверхности — боковая поверхностью конуса. Ось конической поверхности называется осью конуса. Ее отрезок, заключенный между вершиной и основанием — высота конуса.

Конус – это фигура вращения!!! Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, при этом боковая поверхность образуется вращением гипотенузы, а основание – вращением другого катета.

Подобные конусы Два конуса называются подобными, если они произошли от вращения подобных прямоугольных треугольников вокруг сходственных сторон.

Глава 3. Сечения конусов.

Осевое сечение. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого — диаметр основания конуса, а боковые стороны — образующие конуса. Это сечение называется осевым.

Поперечное сечение. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси ОР конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром О1, расположенным на оси конуса.

Эллипс в сечении. Пусть секущая плоскость пересекает только одну часть конуса, причем она не параллельна ни одной его образующей и не перпендикулярна его оси. Тогда сечение конуса – эллипс.

Парабола в сечении. Пусть секущая плоскость пересекает только одну часть кругового конуса и параллельна одной из его образующих, но не параллельна оси. Тогда сечение конуса – парабола.

Гипербола в сечении. Пусть секущая плоскость параллельна оси конуса. Тогда сечение конуса - гипербола, состоящая из двух ветвей.

Глава 4. Площадь поверхности и объем конуса.

Площадь поверхности конуса. Теорема: «Площадь поверхности конуса равна сумме площадей его боковой поверхности и его основания». Дано: конус l- образующая r - радиус основания Доказать: Sполн = πr(l + r) Доказательство:

Доказательство. 1). Боковую поверхность конуса можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Площадь кругового сектора — развертки боковой поверхности конуса— равна , где α — градусная мера дуги ABA =>, Sбок = 2). Выразим α через l и r : длина дуги ABA равна 2πr =>, =>, 3). Sполн = Sбок + Sосн Sбок = π r l Sосн = Sбок = π r l =>, Sполн = πr(l + r). α =>, Sбок =

Объем конуса. Теорема: «Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту». Доказательство: Дано: конус, V – объем конуса R – радиус основания h – высота Доказать:

Доказательство. Введем ось Ох так, как показано на рисунке. Произвольное сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, является кругом с центром в точке М1 пересечения этой плоскости с осью Ох. Обозначим радиус этого круга через R1, а площадь сечения через S (х), где х — абсцисса точки М1. В ∆ОМ1А1 и ∆ОМА: ے O-общий ے ОМ1А1 = ےОМА=90° =>,∆ОМ1А1 ~ ∆ОМА(по двум углам) =>, =>, Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а = 0, b = h, получаем =>, Но Sосн = =>, Sосн h =>, (по определению) =>, =>,

Глава 5. Усеченный конус.

Понятие усеченного конуса. Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Верхняя из частей представляет собой конус, а нижняя называется усеченным конусом.

Элементы усеченного конуса.

Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса. Отрезок, соединяющий центры оснований— высота усеченного конуса. Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью. Отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называется образующими усеченного конуса. Замечание: «Все образующие усеченного конуса равны друг другу».

Площадь боковой поверхности усеченного конуса. Теорема: «Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую». Дано: усеченный конус AA1 - образующая конуса r - радиус одного из оснований r1-радиус другого основания r >, r1 O и O1- центры оснований Доказать: Sбок = π • (r + r1) • l

Доказательство. 1).Пусть Р — вершина конуса, из которого получен усеченный конус, АА1 — одна из образующих усеченного конуса, r >, r1, точки О и О1 — центры оснований. Sбок.кон. = πrl =>, =>,Sбок = πr • РА – πr1 • PA1= πr•(PA1 + AA1)–πr1•РА1 АА1 = l 2). ے PA1O1 = ےPAO(как соответственные при AO׀׀A1O1 и секущей AP) =>, ے PO1A1 = ےPOA=90° =>,∆PO1A1 ~ ∆POA(по двум углам)=>, = или PA1= =>, Sбок = π • (r+r1) • l =>, Sбок = πrl+ π(r–r1)PA1 = (по определению) =>,

Объем усеченного конуса. Теорема: «Объем усеченного конуса, высота которого равна h, а площади оснований равны S и S1, вычисляется по формуле: » Дано: усеченный конус, S-площадь большего основания S1-площадь меньшего основания OO1-высота усеченного конуса. OO1=h Доказать:

Доказательство: 1). Пользуясь тем, что усеченный конус получается из обычного конуса с объемом V1 путем отсечения от него меньшего конуса c объемом V2, причем эти конусы подобны, то объем усеченного конуса равен: 2). Пусть PO=H1 и PO1=H2, но т.е.

Усеченный конус – это фигура вращения!!! Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. На рисунке изображен усеченный конус, полученный вращением прямоугольной трапеции ABCD вокруг стороны CD, перпендикулярной к основаниям AD и ВС. При этом боковая поверхность образуется вращением боковой стороны АВ, а основания усеченного конуса — вращением оснований СВ и DA трапеции.

Глава 6. Прикладное значение конуса.

Конус в быту. Бокалы и фужеры. Свечи. Плафон лампы. Воронка. Остриё шила имеет форму конуса.

Конус в промышленности. Дымоходы промышленных предприятий. Боеголовки ракет. Дорожные знаки.

Конус в природе. Сталактиты в пещерах Кавказа. Вулканы камчатки.

Торнадо в штате Колорадо. Водная воронка.

Конус в архитектуре. Одно из творений великого русского инженера Владимира Григорьевича Шухова - построенная по его проекту и под его руководством радиобашня на улице Шаболовка в Москве – “Шуховская башня”. Эта башня признается в цивилизованном мире как одно из самых красивых и выдающихся достижений инженерной мысли.

Пороховая башня находится на площади Минина и Пожарского, это первая башня, если двигаться против часовой стрелки от Дмитриевской башни вдоль наружной стороны кремля. Ее название идет из древности, когда в башне хранился порох и всяческие пушечные припасы. В описи 1662 года башня называлась Спасской - по стоявшему близ нее Спасо-Преображенскому собору.

Парки Версаля.

Токийская телевизионная башня была построена в 1958 г. и высота ее составляет 333 м. (высота Эйфелевой башни в Париже - 320 м.). Башня весит около 4.000 т. (Эйфелева Башня весит более 7.000 т.) благодаря самым современным достижениям в области конструкций и материалов.