Презентация по математике Функциональные методы решения уравнений и неравенств

«Функциональные методы решения уравнений и неравенств» Учитель математики ГУО «Гожская средняя школа» Бержинская Нина Леонтьевна

Обоснование актуальности темы: Один из основных критериев обученности сегодня — это результаты ЦТ. Но для того, чтобы успешно справиться с заданиями, предлагающимися на ЦТ, школьной программы недостаточно. Необходимы дополнительные материалы. Именно поэтому было проведено исследование по теме «Функциональные методы решения уравнений и неравенств».

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Цель: изучение функциональных методов решения уравнений и неравенств

Задачи: повторить свойства функций, изучаемых в курсе математики, описать суть каждого свойства, дать рекомендации по его использованию, указания к применению, провести некоторую классификацию нестандартных уравнений (неравенств) по использованию общих свойств функций.

Использование понятия области определения функции Областью определения функции y = f(x) называется множество значений переменной х, при которых функция имеет смысл. Пусть дано уравнение f(x) = g(x), где f(x) и g(x)- элементарные функции, определенные на множествах D1, D2. Тогда областью определения уравнения будет множество, состоящее из тех значений х, которые принадлежат обоим множествам, то есть D = D1 D2. Ясно, что когда множество D пустое (D=Ø), то уравнение решений не имеет.

Решить уравнение Решение. ОДЗ: Так как полученная система решений не имеет, то область определения уравнения не содержит ни одного числа. Значит данное уравнение не имеет решений. Ответ: решений нет.

Решить уравнение Решение. ОДЗ: Проверка: х = 1, 0=0 х = 3 - неверное равенство Ответ: 1.

Использование ограниченности функций Областью значений функции y = f(x) называется множество значений переменной y при допустимых значениях переменной x. Функция y = f(x) называют ограниченной снизу (соответственно сверху) на множестве Х, если существует такое число М, что на Х выполняется неравенство f(x) ≥ M (соответственно ) . Число М называется мажорантой данной функции. Пусть мы имеем уравнение f(x) = g(x) и существует такое число M, что для любого x из области определения f(x) и g(x) имеем: и , , тогда уравнение f(x) = g(x) эквивалентно системе:

Решить уравнение sin x+sin 9x=2. Решение. Ответ:

Решить уравнение Решение. Выделим полный квадрат в правой части уравнения, т.е. Так как при этом , то получаем систему yравнений x= Ответ: x = .

Использование свойств монотонности функций Функцию y = f(x) называют возрастающей (соответственно убывающей) на множестве Х, если на этом множестве при увеличении аргумента увеличиваются (соответственно уменьшаются) значения функции.

Сформулируем теоремы о корне Теорема 1 Если функция f(x) возрастает на промежутке Х, а g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение g(x) = f(x) имеет на промежутке Х не более одного корня. Теорема 2. Если функция f(x) монотонна на промежутке Х, то уравнение f(x) = С имеет на промежутке Х не более одного корня.

Решить уравнение Решение. ОДЗ: х≤2,25. Так как f(x)= - убывающая функция, а g(x)= - возрастающая функция на области определения, то по теореме о корне уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим х=2. Ответ: 2.

Найти значение выражения , где n – количество корней, - целый корень уравнения Решение. Рассмотрим функции f(x)= и g(x)= . Функция f(x) убывает на множестве действительных чисел, а функция g(x) - возрастает на множестве действительных чисел. По теореме о корне уравнение имеет не более одного корня. Найдём его подбором: х=3. Значит это единственный корень уравнения, т.е. n=1. =1•3=3. Ответ: 3.

Спасибо за внимание!