Презентация по геометрии на тему Многогранники

Выполнила: Монахова Е.Ю. учитель математики МКОУ средняя школа№1

Содержание: Правильные многогранники. Теорема Эйлера. Из истории… Невыпуклые правильные многогранники. Полуправильные выпуклые многогранники.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Правильные многогранники Человек проявляет интерес к правильным многоугольникам и многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа.

Правильные многогранники Многогранник называется правильным, если: он выпуклый, все его грани – равные правильные многоугольники, в каждой вершине сходится одинаковое число граней, все его двугранные углы равны.

Правильные многогранники Сколько же существует правильных многогранников? На первый взгляд ответ на этот вопрос очень простой – столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так.

Правильные многогранники Пусть при одной вершине сходится n ребер, тогда плоских углов при этой вершине будет тоже n, причем они все равны между собой. Сумма плоских углов при каждой вершине многогранного угла должна быть меньше 3600.

Правильные многогранники В «Началах Евклида» мы находим строгое доказательство того, что существует только 5 выпуклых правильных многогранников, а их гранями могут быть только 3 типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пятиугольники.

Грани правильного многогранника – правильные треугольники 60о∙3=180о<,360о. В этом случае правильный многогранник имеет 4 грани и называется тетраэдром. 60о∙4=240о<,360о. В этом случае правильный многогранник имеет 8 граней и называется октаэдром. 60о∙5=300о<,360о. В этом случае правильный многогранник имеет 20граней и называется икосаэдром.

Грани правильного многогранника – правильные четырехугольники 90о∙3=270о<,360о.В этом случае правильный многогранник имеет 6 граней и называется гексаэдром (кубом). 90о∙4=360о, следовательно, больше правильных многогранников, грани которых квадраты, не существует.

Грани правильного многогранника – правильные пятиугольники. 108о∙3=324о<,360о. В этом случае правильный многогранник имеет 12 граней и называется додекаэдром. 108о∙4>,360о, следовательно, больше правильных многогранников, грани которых – правильные пятиугольники, не существует.

Выпуклые правильные многоугольники Итак, известно всего 5 видов выпуклых правильных многогранников. Названия пришли из Древней Греции, в них указывается число граней: «эдра» - грани «тетра» - 4 «гекса» - 6 «окта» - 8 «икоса» - 20 «додека» -12

Выпуклые правильные многогранники Тетраэдр Куб (гексаэдр) Октаэдр Икосаэдр Додекаэдр

Теорема Эйлера Пусть В – число вершин Р – число ребер Г – число граней Тогда верно равенство: В – Р + Г = 2 Число λ = В – Р + Г называется Эйлеровой характеристикой. Согласно теореме Эйлера для выпуклого многогранника она равна 2.

Элементы многогранников 4 4 6 2 6 8 12 2 8 6 12 2 12 20 30 2 20 12 30 2 Правильный многогранник Ч и с л о Граней Вершин Ребер В-Р+Г Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр

Правильные выпуклые многогранники Подведем итог: Известно всего 5 видов правильных многогранников. Тетраэдр Октаэдр Икосаэдр Куб (гексаэдр) Додекаэдр

Из истории… Все эти типы многогранников были известны в Древней Греции – именно им посвящена завершающая, ХIII книга «Начал» Евклида. Их называют также «платоновыми телами» - они занимали видное место в идеалистической картине мира философа Платона: тетраэдр – олицетворял огонь икосаэдр – воду куб – землю октаэдр – воздух додекаэдр – воплощал в себе «все сущее», символизировал мироздание, считался главнейшим.

Невыпуклые правильные многогранники Кеплер первым начал изучать так называемые звездчатые многогранники, которые в отличии от тел Платона являются правильными невыпуклыми многогранниками. Он открыл 2 таких тела. Через 200 лет французский математик и механик Л. Пуансо (1777-1859) открыл существование еще двух правильных невыпуклых многогранников. Благодаря работам Кеплера и Пуансо стало известно 4 таких фигуры. Их называют тела Пуансо. В 1812 г. О. Коши доказал, что других правильных звездчатых (невыпуклых) многогранников не существует.

Полуправильные выпуклые многогранники У них также все многогранные углы равны и все грани – равные многоугольники, но несколько разных типов. В настоящее время нам известно о существовании 13 полуправильных многогранников, открытие которых приписывается Архимеду.

У многих может возникнуть вопрос: «А зачем вообще изучать правильные многогранники? Какая от них польза?» На этот вопрос можно ответить: «А какова польза от музыки или поэзии? Разве все красивое полезно?»

Модели многогранников, прежде всего, производят на нас эстетическое впечатление, поэтому могут использоваться и в архитектуре, и в качестве декоративных украшений. Но на самом деле широкое проявление правильных многогранников в природных структурах послужило причиной огромного интереса к этому разделу геометрии в современной науке. Проявление:

Спасибо за урок !