Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессии в окружающей нас жизни. Автор работы: Полякова Марина, ученица 9 класса, филиала МБОУ Токарёвской СОШ в с.Полетаево. Руководитель: Зуева И.П., учитель математики

Цель работы: установить картину возникновения понятия прогрессии, выявить примеры их применения. Задачи: Изучить наличие задач на прогрессии с практическим содержанием в различных учебных пособиях. Выяснить: когда и в связи с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности -прогрессии, какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме. Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение? Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни. Объект исследования: последовательности: арифметическая и геометрическая прогрессии. Предмет исследования: практическое применение этих прогрессий

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

В работе дается ответ на вопрос: действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни? Для этого сделан исторический экскурс для установления авторства теории о прогрессиях. Приведены примеры применения прогрессий в различных отраслях хозяйства. Сделан анализ влияния размножения живых организмов в геометрической прогрессии на жизнь на Земле. Актуальность

Гипотеза исследования: На уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и прогрессии имеют определенное практическое значение. Методы исследования: Анализ школьных учебников математики. Анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета.

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего увеличением его на определённое число d. Имеет вид: a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, …, a1+(n-1)d,…

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q. Имеет вид: b1, b1q, b1q2, b1q3,… ,b1qn-1,…

Из истории прогрессий. Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. В Древнем Египте в V до н.э. греки знали прогрессии и их суммы: 1+2+3+…+n = =2+4+6+…+2n = n·(n+1). Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым (V в.).

Примеры отдельных арифметических и геометрических прогрессий можно встретить еще в древневавилонских и греческих надписях, имеющих возраст около четырех тысячелетий и более. В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Пифагор (IV в. до н. э.) и его ученики рассматривали последовательности, связанные с геометрическими фигурами.

Вопросами последовательности занимался Леонардо Пизанский (Фибоначчи). Наиболее известной из сформулированных Фибоначчи задач является задача о размножении кроликов, которая привела к открытию числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., именуемой впоследствии рядом Фибоначчи.

Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии. Примеры этих организмов. БАКТЕРИИ… Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две, каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии, из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д. (геометрическая прогрессия). Прогрессии в природе.

в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.) Интенсивность размножения бактерий используют… в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.) в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин) в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод,ликвидации нефтяных пятен)

ИНФУЗОРИИ… Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам. Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения? Решение: Численность любого вида при отсутствии ограничений растёт в соответствии с геометрической прогрессией, Кривая роста численности любого вида при отсутствии ограничений называется экспонентой. b15 = 2·2

14 = 32 768

ТЛИ……. Всего за пять поколений, то есть за 1 – 1,5 летних месяцев, одна единственная тля может оставить более 300 млн. потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоем толщиной почти в 1 метр. ВОРОБЬИ…… Потомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре года может покрыть весь земной шар за 35 лет.

Прогрессии и банковские расчеты. Представьте себе, что вы открыли в банке вклад в сумме а р. Под р% годовых на t лет. У вас есть две стратегии поведения: либо в конце каждого года хранения вклада снимать проценты по вкладу, т.е. полученную прибыль в размере р., либо прийти в банк один раз — в конце срока хранения вклада. Kaкой доход вы получите в том и другом случаях? В первом случае при t = 1 вы получите (а + )р., при t = 2 ваша итоговая сумма составит (а + )р., при t = 3 (а + )р. и т. д. Математическая модель ситуации — конечная арифметическая прогрессия а, а + , а + ,а + …, а + . Итак, при первой стратегии поведения за t лет вы получит) а(1 + )— это так называемая формула простых процентов

Прогрессии и банковские расчеты. Если вы решили прийти в банк только в конце срока хранения вклада, то при t = 1 получаемая сумма составит, как и в первом случае, (а + )р., т. е. а (1 + )р., сумма вклада увеличится в (1 + )раз. Во столько же раз она увеличится и к концу второго года хранения, и к концу третьего года хранения и т. д. Математическая модель ситуации — конечная геометрическая прогрессия а, а(1 + ), а(1 + )2,а(1 + )3,…, а(1 + )t. Итак, при второй стратегии поведения за t лет вы получите а(1 + )tруб..— это так называемая формула сложных процентов.

Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)? Прогрессии в медицине.

Решение. Составим математическую модель задачи: 5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5 ап=а1+d(n-1), 40=5+5(п-1), п=8, Sп=((a1+aп)n)/2, S8 =(5+40)·8:2=180, 180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства. возрастающая арифметическая прогрессия а1=5, d=5 убывающая арифметическая прогрессия с1=5, d=-5

Прогрессии в спорте. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков? Решение. Составим математическую модель задачи. Система штрафных очков составляет арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1, а разность – 0,5. Сумма первых n членов ( количество промахов) равно 7. Найдем число промахов - n. Число промахов - 4. В цель стрелок попал 21 раз.

В поселке 16 000 жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям, каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна половине посёлка? Решение. Итак, в 8. 15 утра новость была известна только четверым: приезжему и трём местным жителям. Узнав эту новость, каждый из трёх граждан поспешил рассказать её трём другим. Это потребовало также четверти часа. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней узнали уже 4+3·3=13 человек. Каждый из девяти вновь узнавших поделился в ближайшие четверть часа с тремя другими гражданами, так что к 8.45 утра новость стала известна 13+9·3= 40 гражданам. Если слух распространяется по посёлку и далее таким способом, то есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие четверть часа передать её трём согражданам, то осведомление посёлка будет происходить по следующему расписанию: в 9.00 новость узнают 40+27 ·3=121 (человек), 9.15 121+81 ·3 =364 (человек), 9.30 364+243 ·3=1093 (человек), 9.45 1093+729 ·3=3280 (человек), 10.00 3280 + 2187 ·3 =9841(человек). О поселковых слухах.

Эту задачу можно решить по-другому, используя формулу сумму n первых членов геометрической прогрессии. В данном случае: q = 3, b1 = 1, Sn = 8000, n –неизвестно. Подставляя известные числа в формулу, получим: Чтобы найти n , заметим, что 36 = 729, 32 =9, 38 = 36· 32= 729 · 9=6561, 39=19683. Значит, n должно быть не меньше 9. При n = 9 имеем:

Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями! Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2, 4, 6, 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2. Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7...пгн Примеры: Ямб: «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...» Прогрессия: 2, 4, 6, 8... Хорей: «Я пропАл, как звЕрь в загОне» Б. Л. Пастернак Прогрессия: 1, 3 ,5, 7... «бУря мглОю нЕбо крОет» прогрессия 1, 3, 5,7. А.С. Пушкин. Прогрессии в литературе.

Установили, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл. Выяснили, что в развитие теории о прогрессиях внесли ученые Архимед, Пифагор и его ученики, французский математик Леонардо Фибоначчи. Нашли много задач на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых и в современных учебниках по математике. Заметили, что арифметическая прогрессия в практических задачах встречается чаще геометрической. Обнаружили, что интенсивное размножение бактерий в геометрической прогрессии широко применяется в пищевой промышленности, в фармакологии, в медицине, в сельском и коммунальном хозяйствах, в банковских расчетах (начисление сложных процентов).   Вывод.