Презентация по алгебре на тему Логарифмы (10 класс)

логарифмы

НЕТ НИ ОДНОЙ ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКИ , КАК БЫ АБСТРАКТНА ОНА НИ БЫЛА , КОТОРАЯ КОГДА – НИБУДЬ НЕ ОКАЖЕТСЯ ПРИМЕНИМОЙ К ЯВЛЕНИЯМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО МИРА. Н.И. ЛОБАЧЕВСКИЙ.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Задачи Познакомиться с историей происхождения логарифмов и их практическим применением Повторить понятие и свойства логарифмов Отработать навыки решения задач, предлагаемых на ЕГЭ Закрепить знания, умения и навыки

Из истории логарифмов В течении XVI в.резко возрос объем работы, связанный с проведением приближенных вычислений в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей непосредственное практическое применение (в частности, при определении положения судов по звездам и по Солнцу). Наибольшие проблемы возникали, как нетрудно понять, при выполнении операций умножения и деления. Попытки частичного упрощения этих операций путем сведения их к сложению (была составлена, например, таблица квадратов целых чисел от 1 до 100000, позволяющая вычислять произведения по формуле ab=1/4(a+b)2-1/4(a-b)2 большого успеха не приносили. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило, по выражению Лапласа, жизнь вычислителей. Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство - таблицы логарифмов, - резко повысившее производительность труда вычислителей.

В 1614 году шотландский математик Джон Непер(1550 - 1617) изобрел таблицы логарифмов. Принцип их заключался в том, что каждому числу соответствует свое специальное число - логарифм. Логарифмы очень упрощают деление и умножение. Например, для умножения двух чисел складывают их логарифмы. результат находят в таблице логарифмов. В дальнейшем им была изобретена логарифмическая линейка, которой пользовались до70-х годов нашего века. Швейцарский часовщик и мастер астрономических приборов, любитель математики. И. Бюрги (1552 - 1632)составил первые таблицы логарифмов. Долгое время он не решался публиковать таблицы, медлительность Бюрги стоила ему приоритета. Только в 1620 году издал свою книгу Таблицы арифметической и геометрической прогрессии с обстоятельным наставлением, как пользоваться ими при всякого рода вычислениях.

Практическое применение логарифмы находят в … Криптографии, где логарифмы по основанию 2 используются в полиномах при шифровании и дешифровании информации При измерения параметров различной радиоаппаратуры ( систем телефонии ,в системах передачи информации (модемы) ) была введена единица под названием Бел - в честь американского ученого A.G. Bell, (1847-1922гг). Бел [Б] - единица логарифмической величины, служащая для измерения разности уровней одноименных энергетических (мощность, энергия и т.п.) или силовых (напряжение, сила тока и т.п.) величин. Из-за крупности единица Бел не нашла широкого применения, а вот её десятая доля (0.1 Б) прочно заняла своё место в практике измерений. Как известно, для десятой доли используется приставка Деци-, поэтому дольную единицу звали ДЕЦИБЕЛ [дБ ] [dB]. В акустике для измерения громкости звука.

Определение Логарифмом положительного числа x по положительному и отличному от единицы основанию а, называется показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить число x.

обозначения: Натуральный логарифм – это логарифм числа по основанию е Десятичный логарифм – это логарифм числа по основанию 10

Знаете ли вы… Способ для запоминания простой – два, семь ,дважды ЛевТолстой е ≈ 2 , 7 1828 1828… e ≈ 2,718281828... Это я знаю и помню прекрасно π ≈ 3 , 1 4 1 5 9…. π ≈ 3,14159… Два замечательных рациональных приближения числа ∏ π ≈ - древнейшее, открыто знаменитым китайским астрономом Цю-Шунь-Ши в 5 веке до н. э. π ≈ -открыто Архимедом.

Функцию, заданную формулой называют логарифмической функцией с основанием а. a>,1 0<,a<,1

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ При а>,1 D(f)=(0,∞) – область определения E(f)=R – множество значений Функция возрастает на D(f), y=0 при x=1, у>,0 при x>,1, у<,0 при 0<,x<,1, Функции y=logax и y=ax взаимно обратны, их графики симметричны относительно прямой y=x. При 0<,а<,1 D(f)=(0,∞) – область определения E(f)=R – множество значений Функция убывает на D(f), y=0 при x=1, у>,0 при 0<,x<,1, у<,0 при x>,1, Функции y=logax и y=ax взаимно обратны, их графики симметричны относительно прямой y=x.

Свойства логарифмов при любом a>,0 ( a≠1 ) и любых х>,0, y>,0, любых действительных p и k≠0 выполнены равенства: Логарифм частного Логарифм степени Логарифм произведения Основное логарифмическое тождество Формула перехода

ВЫРАЖЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Пример 1 (А).Упростите выражение lg25+0.5lg16. 1) lg29, 2) 2, 3) lg33, 4) 10. Решение. Применив свойство логарифма степени ко второму слагаемому, а затем свойство суммы логарифмов, получим: Lg25+0.5lg16=lg25+lg161/2=lg25+lg4=lg(25*4)=lg100=2.Ответ: 2. Пример 2 (В). Найдите значение выражения Решение. Значение первого слагаемого можно найти с помощью основного логарифмического тождества: Применяя ко второму и третьему слагаемому формулы Получаем : Значит, Ответ: 2

УРАВНЕНИЯ ПРИМЕР3(А)УКАЖИТЕ ПРОМЕЖУТОК, КОТОРОМУ ПРИНАДЛЕЖИТ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ 1) (-∞:-2] 2) (-2:2) 3) [2,4] 4) (4, + ∞) Решение. Данное уравнение равносильно системе Которая равносильна системе Решая уравнение ,получаем: x=2 или x=-4 Число -4 не удовлетворяет условию x>,0, т.е. является посторонним корнем. Число 2 удовлетворяет условию x>,0, значит, является корнем исходного уравнения. Этот корень принадлежит промежутку, указанному в третьем варианте ответа. ответ: 3

Пример4(с).Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение Имеет два различных корня, равноудаленных от точки x=42. Введем обозначение .уравнение примет вид: Его корни - числа . следовательно, , Отсюда получаем: Точка x=42 равноудалена от точек ,т.е. она является серединой отрезка с концами в этих точках. Воспользуемся формулой координаты середины отрезка Далее получаем: ответ: при a=1. Ответ:a=1

Пример 5(с). При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно четыре корня? Решение. О.Д.З. : x >, 0. Пусть Тогда уравнение должно иметь два положительных корня, то есть при D>,0 и . Таким образом, откуда Ответ: при

неравенства Пример6(A). решите неравенство: 1) (-∞, 4.5) 2) (0,+∞) 3) (2.5, 4.5) 4) (4.5, +∞) Решение. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием ½. Получим неравенство Так как функция определена и убывает на промежутке (0,+∞), то данное Неравенство равносильно следующей системе 2x-5>,4, 2x-5>,0. Данная система равносильна неравенству 2x-5>,4, или x>,4.5. Значит, решением данного неравенства является промежуток (4.5,+∞). ответ: 4. Пример 7(А). Решите неравенство: 1) (1,+∞) 2) (0,+∞) 3) (-∞,-4) 4) (-4,+∞) Так как функция определена и возрастает на промежутке (0,+∞) , то данное неравенство равносильно следующей системе 2x+3>,x-1, x-1>,0, 2X+3>,0. Решая неравенства системы, получаем x>,-4, x>,1. Значит, решением данного неравенства является промежуток (1,+∞). ответ: 1

Пример 9(B) Решите неравенство log2x – 5(5x – 2) і1. Решение. Неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств: Пример 9(B) Решите неравенство Решение. Неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств: Решаем первую из этих систем: Решаем вторую систему: Решением исходного неравенства является объединение двух решений этих систем, т.е. Ответ:

функции пример9(A).найдите область определения функции 1) (0,+∞) 2)(0,0.09] 3)[0.09,+∞) 4) [0,+∞) Решение. Функция определена на промежутке [0,+∞), поэтому ≥0, Т.е. ≤2 Представим правую часть полученного неравенства в виде логарифма с основанием 0.3: ≤ Поскольку функция определена и убывает на промежутке (0,+∞) то данное неравенство равносильно неравенству x≥0.09. Значит, решением данного неравенства является промежуток [0.09,+∞). Ответ:3 Пример10(В).найдите наименьшее значение функции Решение. функция монотонно убывает на всей области определения. Поскольку область определения логарифмической функции- множество всех положительных чисел, то >,0, отсюда следует, что (x-0.5)(x+0.5)<,0, -0.5<,x<,0.5. значит, функция определена на множестве (-0.5,0.5). График квадратичной функции -парабола, вершина которой находится на оси ординат в точке (0,0.25), а ветви направлены вниз. Поэтому свое наибольшее значение 0.25 эта функция достигает при x=0. При 0≤х≤0.5 значения функции Непрерывно убывают от 0.25 до 0, а при -0.5≤х≤0- непрерывно возрастают от 0 до 0.25. Следовательно, на промежутке -0.5<,х≤0 функция непрерывно убывает, принимая наименьшее значение у(0)=2, а на промежутке 0≤х<,0.5 непрерывно возрастает, принимая наименьшее значение у(0)=2. ответ: 2

ПРИМЕР11 (А). Укажите область определения функции. 1) (-3,+∞) 2) (-2,+∞) 3) (1,+∞) 4) (-∞,+∞) ответ: 1 Пример 12 (А). ГРАФИК КАКОЙ ИЗ ПЕРЕЧИСЛЕННЫХ ФУНКЦИЙ ИЗОБРАЖЕН НА РИСУНКЕ ? 1) 2) 3) 4) Ответ: 3 ПРИМЕР13 (А) ГРАФИК КАКОЙ ИЗ ПЕРЕЧИСЛЕННЫХ ФУНКЦИЙ ИЗОБРАЖЕН НА РИСУНКЕ ? 1) 2) 3) 4) Ответ:1 ГРАФИКИ

1.Найдите значение выражения 2. Найдите область определения функции 4. Укажите промежуток , которому принадлежит корень уравнения 5. решите неравенство <, y Проверь себя! 3. График какой из перечисленных функций изображен на рисунке? 1 2 3 4 5 1 3 4 2 1

Карточка 1 Сформулируйте определение логарифмической функции, определение логарифма числа. Запишите основное логарифмическое тождество. Найдите область определения функции Упростите выражение Решите систему уравненеий Решите неравенство