Презентация по теме треугольники для итогового повторения в 9 классе

Треугольник – это простейшая фигура: три стороны и три вершины. Математики называют его двумерным симплексом. «Симплекс» по-латыни означает простейший. Именно в силу своей простоты треугольник явился основой многих измерений. ТРЕУГОЛЬНИКИ (элементы, площади) Учитель математики МАОУ СОШ № 22 г. Тамбова Склярова Светлана Александровна

РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами (АВ = ВС), а третья сторона – основанием (АС). Свойства Углы при основании равны ( ےА = ےС). Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают (ВД). В А С Д Признаки Треугольник равнобедренный, если два угла медиана является высота является медиана равны высотой биссектрисой является биссектрисой проверь себя

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним (правильным). Свойства Все углы равны ( ےА = ےВ = ےС). Каждая медиана совпадает с биссектрисой и высотой, проведёнными из той же вершины (ВД). Центры вписанной и описанной окружностей совпадают. В А С Д О r R а ОД = r = = ОВ = R = = R = 2r h = S = = = R = r =

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ Сумма углов треугольника равна а b с β γ 1800 α α +β + γ = 1800 Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол а >, b ↔ α >, β Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, но больше модуля их разности │а – b │<, c <, a + b α β δ Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним δ = α + β проверь себя проверь себя

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ I признак ) ) По двум сторонам и углу между ними II признак III признак ) ) ) ) ) ) По одной стороне и двум прилежащим к ней углам По трём сторонам

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ А В М N С P ΔАВС ∞ ΔMNP 1. ےА = ےМ ے В = ےN 2. ےA = ےM 3.

МЕДИАНА ТРЕУГОЛЬНИКА Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника. Каждая медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника (одинаковой площади). Три медианы пересекаются в одной точке, которая всегда находится внутри треугольника (центр масс треугольника). Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. а b с а b с

БИССЕКТРИСА ТРЕУГОЛЬНИКА Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне. Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам: а b с ( ( Три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая всегда лежит внутри треугольника. Эта точка является центром вписанной окружности. проверь себя

ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой , содержащей противолежащую сторону треугольника. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром. а b с Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника. Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла. Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам: ¬ ¬ ¬

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА Средняя линия параллельна одной из сторон треугольника и равна её половине: MN ║AC , MN = AC. Она отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия В А С M N

ТЕОРЕМЫ КОСИНУСОВ И СИНУСОВ Для произвольного треугольника, длины сторон которого обозначены a, b, c, а величины противолежащих им углов а b с β γ α α, , β, γ, справедливы две теоремы. Теорема косинусов: Теорема синусов: где R - радиус описанной окружности

ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА Для произвольного треугольника, длины сторон которого обозначены a, b, c, а высота а b с ¬ В С А площади вычисляются по формулам: S = S = β S = S = , где r – радиус вписанной окружности , где S = , где R – радиус описанной окружности (формула Герона) p =

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ а b О r c В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис. , где S площадь треугольника, а p = L L A B C M L N p-a p-a p-b p-c p-b p-c

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ Около любого треугольника можно описать окружность. Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров. а b с , где S площадь треугольника О R