Презентация исследовательской работы Признаки делимости

Признаки делимости

Математика – одна из великих наук, изучением которой занимались многие великие ученые, такие как Декарт, Паскаль и другие. На одном из уроков математики мы изучали признаки делимости на 2, 5, 3, 9, 10. Стало интересно, существуют ли другие признаки делимости, откуда они возникли?

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Цель работы: 1. Исследовать признаки делимости на числа от 1 до 20, кроме тех, что мы изучаем в школьном курсе математики. 2. Познакомить с ними других учащихся. Задачи работы: 1. Познакомиться с различными источниками. 2. Систематизировать полученную информацию. 3. Применить на практике выявленные признаки.

Объект исследования Изучением признаков делимости занимались с древних времен. Великий французский ученый Блэз Паскаль нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости одного любого числа, на другое любое число. Практически все известные ныне признаки делимости являются открытием Паскаля.

Новизна результатов исследования заключается в том, что данная работа систематизирует знания о признаках делимости и думаю, что многие ровесники и старшеклассники не знают, что существуют другие признаки делимости и кто их открыл.

Паскаль Блэз Паскаль – один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель.

Признак Паскаля Признак делимости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление. Как правило, основано на действиях с частью цифр из записи числа в позиционной системы счисления (обычно десятичной). Признак Паскаля — универсальный признак делимости, позволяющий для любых целых a и b определить, делится ли a на b.

Основные частные случаи Признак делимости на 2: число делится на 2 без остатка, когда оно заканчивается на чётную цифру. Признаки делимости на 3 и 9: число делится на 3 (9) без остатка, когда сумма цифр числа делится на 3 (9). Признак делимости на 4: число делится на 4 без остатка, когда если число, состоящее из двух его последних цифр, делится на 4. Признак делимости на 5: число делится на 5 без остатка, когда оно заканчивается на цифру 5 или 0. Признак делимости на 7: число делится на 7 без остатка, если результат вычитания удвоенного последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7. Признак делимости на 17: число делится на 17, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17.

Основные частные случаи Признак делимости на 19: число делится на 19, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19. Признак делимости на 11: Число делится на 11 без остатка, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11.

Признаки делимости на составные числа Признак делимости на 6: число делится на 6, когда оно заканчивается на чётную цифру и сумма цифр делится на 3. Признак делимости на 12: число делится на 12, когда две последние цифры делятся на 4 и сумма цифр делится на 3. Признак делимости на 14: число делится на 14, когда оно заканчивается на чётную цифру и когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Признаки делимости на составные числа Признак делимости на 15: число делится на 15, когда оно заканчивается на 5 и на 0 и сумма цифр делится 3. Признак делимости на 18: число делится на 18, когда оно заканчивается на чётную цифру и сумма его цифр делится на 9. . Признак делимости на 20: число делится на 20, когда число заканчивается на 0 и предпоследняя цифра четная

Применение признаков делимости Пример 1: Проверьте делится ли без остатка 378015 на 3, на 5, на 11. Решение: 1) действие: Число 378015 делится на 3, так как сумма его цифр равна:  3 + 7 + 8 + 0 + 1 + 5 = 24, а это число делится на 3. 2) действие: Данное число делится на 5, так как его последняя цифра 5. 3)действие: Число делится на 11, так как суммы его нечётных цифр: 3 + 8 + 1 = 12  и чётных цифр 7 + 0 + 5 = 12  равны.

Пример 2: Проверьте делится ли число а) 845 без остатка на 13, б) 646 без остатка на 19. Решение: а) 845 делится на 13, так как 84 + (4 × 5) = 104 делится на 13. б) 646 делится на 19, так как 64 + (6 × 2) = 76 делится на 19. Применение признаков делимости

Вывод Выяснено, что существуют другие признаки делимости, кроме изучаемых в школьном курсе, общий признак делимости вывел французский ученый Паскаль, практически все известные ныне признаки делимости являются частным случаем признака Паскаля, зная основные признаки делимости на простые числа, можно вывести признаки делимости на составные числа, цель достигнута: были изучены признаки делимости от 1 до 20.

и н а а п С и м н в а з о б и с е !