Презентация по теме Движения на плоскости(9 класс)

Движения

Отображение плоскости на себя. Любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Понятие движения в геометрии связано с обычным представлением о перемещении. Но, если говоря о перемещении, мы представляем себе непрерывный процесс, то в геометрии для нас будут иметь значение только начальное и конечное положения фигур.

Центральная симметрия Какие точки называются симметричными относительно данной точки? Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки, если эта точка является серединой отрезка АА1. Как построить точку симметричную данной относительно некоторой точки О? А О А1 А О А1

Центра́льной симме́трией (иногда центра́льной инве́рсией) относительно точки A называют преобразование пространства, переводящее точку X в такую точку X′, что A — середина отрезка XX′. Фигура называется симметричной относительно точки A, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки A также принадлежит этой фигуре. Точка A называется центром симметрии фигуры.

Примеры центральной симметрии Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией является окружность и параллелограмм Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма – точка пересечения его диагоналей.

Осевая симметрия. Две точки А и А1 называются симметричными друг другу относительно прямой m, если прямая m перпендикулярна отрезку АА1 и проходит через его середину. Прямую m называют осью симметрии. При сгибании плоскости чертежа по прямой m – оси симметрии симметричные фигуры совместятся.

Осевая симметрия Какие точки называются симметричными относительно данной прямой? Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна ему. Как построить точку симметричную данной относительно прямой L? А L А1 А О А1 L

Прямоугольник имеет две оси симметрии. Прямоугольник ABCD имеет две оси симметрии: прямые m и l. Если чертеж перегнуть по прямой m или по прямой l, то обе части чертежа совпадут.

Квадрат имеет четыре оси симметрии. Квадрат ABCD имеет четыре оси симметрии: прямые m, l,  k и  s. Если квадрат перегнуть по какой-либо из прямых: m, l, k или s, то обе части квадрата совпадут.

Окружность имеет бесконечное множество осей симметрии. Окружность с центром в точке О и радиусом ОА имеет бесчисленное количество осей симметрии. Это прямые:  m, m1, m2, m3 ...

Зимние снежинки все разные, но все имеют симметрию относительно оси.

Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии Точки А и А1 симметричны относительно прямой m, так как прямая m перпендикулярна отрезку АА1 и проходит через его середину. m – ось симметрии.

Многие детали механизмов симметричны.

Многие листья деревьев симметричны относительно среднего стебля.

Равносторонний треугольник Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии.

Равнобедренный треугольник Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии.

Квадрат Квадрат имеет четыре оси симметрии.

Прямоугольник Прямоугольник имеет две оси симметрии.

Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии.

Сколько осей симметрии имеет правильный пятиугольник? Ответ: 5 осей симметрии. В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Примеры фигур, у которых нет ни одной оси симметрии Параллелограмм Разносторонний треугольник

Определение Параллельный перенос или трансляция ― частный случай движения, при котором все точки пространства перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Параллельный перенос (трансляция)

Примеры

Параллельный перенос перемещает каждую точку фигуры или пространства на одно и то же расстояние в одном и том же направлении. Иначе из примера следует, если  А ― первоначальное, а А1  ― смещенное положение точки, то вектор АА1 ― один и тот же для всех пар точек, соответствующих друг другу в данном преобразовании.

Координатное представление На плоскости параллельный перенос выражается аналитически в прямоугольной системе координат (x, y)  при помощи (x, y)  (x+a, y+b), где вектор AA1 = (a, b).

Свойства: Две различные точки и их образы, полученные параллельным переносом, являются вершинами параллелограмма, в котором отрезок, соединяющий две начальные точки, образует одну сторону, а отрезок, соединяющий два их образа — противоположную ей сторону. У параллельного переноса нет неподвижных точек, но имеются инвариантные прямые. Совокупность всех параллельных переносов образует группу, которая в евклидовом пространстве является нормальной подгруппой группы движений, а в аффинном ― нормальной подгруппой группы аффинных преобразований.

Параллельный перенос в разных областях науки Параллельное перенесение — обобщение понятия «параллельный перенос» на случай искривлённых пространств. Поступательное движение — движение в механике, разница положений при котором в любые 2 момента времени представляет собой параллельный перенос. Трансляция (кристаллография) — симметричное преобразование, в результате которого узел пространственной решётки совпадает с другим ближайшим идентичным узлом. Трансляционная симметрия — тип симметрии, при которой свойства рассматриваемой системы не изменяются при сдвиге на определённый вектор, который называется вектором трансляции.

Поворот

Поворот является движением, т. е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния. Если при повороте около точки О точка М переходит в точку М1, то ОМ и ОМ1 образуют один и тот же угол, какова бы ни была точка М. Этот угол называется углом поворота.

На рисунках показаны поворот точки M вокруг точки О на угол α против часовой стрелки.   Поворотом плоскости вокруг точки O на угол α называется отображением плоскости на себя, при котором каждая точка M отображается в такую точку M1, что OM=OM1 и угол MOM1 равен α. При этом точка O остаётся на месте, т. е. отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки O в одном и том же направлении – по часовой стрелке или против часовой стрелки.

O-центр поворота, α-угол попорота против часовой стрелки. При повороте точки M и N отображаются в точки M1 и N1. Треугольники OMN и OM1N1 равны по двум сторонам и углу между ними: OM=OM1, ON=ON1 и <,MON=<,M1ON1. Из равенств этих треугольников следует, что MN=M1N1, т. е. расстояние между точками M и N равно расстоянию между точками M1 и N1.

Итак, поворот сохраняет расстояние между точками и поэтому представляет собой движение. Это движение можно представить себе как поворот всей плоскости вокруг данной точки O на данный угол α.