Презентация по математике на тему Маленькие секреты клетчатой бумаги

Маленькие секреты клетчатой бумаги Октябрьский учебно-воспитательный комплекс №1 «Школа-гимназия»

«... Только то обучение является хорошим, которое забегает вперед развития». Л.С.Выготский

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

научиться вычислять площади многоугольников с вершинами в узлах клетки. Цель: познакомиться с играми на клетчатой бумаги применение формулы Пика при решении задач

Задачи: Изучить литературу по данной теме, 2. Рассмотреть различные способы вычислений площадей многоугольников, 3. Показать практическое применение этих способов, 4. Выяснить преимущества и недостатки каждого способа, 5. Систематизировать и углубить накопленные мной знания, 6. Повысить качество знаний и умений, 7. Развивать логическое мышление

Я пишу на бумаге в клетку. Не люблю я бумагу в строчку. Вновь я загнан. Не в сеть, а в сетку. Допишу и поставлю точку. Не терплю я бумаги писчей. Чистота, белизна - все скучно! Мои образы станут пищей Для поэзии сильной, звучной! Буквы ровно ложатся редко. Им вставать! Пробиваться в дамки! Я пишу на бумаге в клетку. Я люблю выходить за рамки. Рубен Кафадарян Клетчатая бумага, ей посвящают стихи

Игры на листе в клетку

Крестики нолики Правила. Игра ведется между двумя игроками по классическим правилам: Игроки ходят по очереди, один крестиками, другой ноликами. Побеждает игрок, собравший первым пять или более своих символов в ряд в любом направлении (по вертикали, по горизонтали или по диагонали).

Морской бой Каждый игрок расставляет на поле размером 10х10 клеток свои корабли: авианосец (прямоугольник размером в 5 клеток по горизонтали или вертикали), крейсер (4 клетки), 3 эсминца (по 2 клетки), 3 подводных лодки (по 1 клетке). Игрок №1 выбирает произвольную точку на поле, и “стреляет туда”. Естественно, реального расположения кораблей противника он не видит, поэтому рядом со своим полем чертит второе такое же, пустое, где отмечает результаты выстрела: промах или попадание. Игрок №2 выслушивает координаты выстрела (например, Б-5), и сообщает сопернику, попал ли тот (не уточняя, в какой корабль), или промахнулся.

Логическая игра на бумаге Тупик. Цель этой игры на бумаге - завести соперника в тупик и при этом самому в него не попасть. Игра ведётся на листе бумаги, на котором ставится несколько рядов точек, например, 4x4. Игроки по очереди соединяют точки отрезками, рисуя ломаную линию, которая не должна себя пересекать и замыкаться. Соединять можно соседние по горизонтали, вертикали и диагонали точки, а также точки, связанные ходом коня, т.е. расположенные на диагонали прямоугольника 1x2. Игрок, который не может сделать ход, проигрывает.

Классические судоку 3х3 Необходимо заполнить свободные клетки цифрами от 1 до 9 так, чтобы в каждой строке, в каждом столбце и в каждом малом квадрате 3x3 каждая цифра встречалась бы только один раз.

Ответ:

Судоку чёт-нечет В этих судоку содержится дополнительная информация о чётности цифр. То есть, в клетках помеченных одним цветом размещаются только чётные цифры, а в клетках, помеченных другим цветом - только нечётные.

Ответ:

Площади

Основание Карфагена Об основании древнего города Карфагена существует следующее предание. Дидона, дочь тирского царя, потеряв мужа, убитого рукой ее брата, бежала в Африку и высадилась со многими жителями Тира на ее северном берегу. Здесь она купила у нумидийского царя столько земли, «сколько занимает воловья шкура». Когда сделка состоялась, Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие ремешки и благодаря такой уловке охватила участок земли, достаточный для сооружения крепости. Так будто бы возникла крепость Карфаген, к которой впоследствии был пристроен город.

Попробуем вычислить, какую площадь могла, согласно этому преданию, занять крепость, если считать, что воловья шкура имеет поверхность 4 кв. м, а ширину ремешков, на которые Дидона ее разрезала, принять равной 1 мм. Решение: Площадь воловьей шкуры 4 кв. м или 4 миллиона кв. мм, а ширина ремня 1 мм, то общая длина вырезанного ремня (Дидона, надо думать, вырезала его спирально) — 4 миллиона мм, или 4000 м, то есть 4 км. Таким ремнем можно окружить квадратный участок в 1 кв. км.

Вычисление площадей с помощью формулы Пика

Георг Александер Пик родился 10 августа 1859 году в Вене Среди всего многообразия достижений австрийского математика выделяется формула для вычисления площадей многоугольников с вершинами в узлах клетки. Она стала широко известна только в 1969 году, после того, как Гуго Штейнгауз включил ее в свою знаменитую книгу ≪Математический калейдоскоп≫.

Рассмотрим простой целочисленный многоугольник (все его вершины имеют целые координаты, его граница — связная ломаная без самопересечений, и он имеет ненулевую площадь).

Формула Пика Площадь многоугольника с целочисленными вершинами S = В + Г/2 − 1 В - количество целочисленных точек внутри многоугольника, Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника Точка координатной плоскости называется целочисленной, если обе её координаты целые ( т.е. точка находится в узле клетки).

Узел Узел – пересечение двух прямых. A, B – внутренние узлы. C,D – узлы на границе. A D B C

Площадь прямоугольника 8 6 S=ab S=6 8=48(кв.ед.) По формуле Пика В=35, Г= 28 S=35+28:2-1=48(кв.ед.)

Площадь треугольника

По формуле Пика В=25, Г=24 S = 25+24:2 – 1= 36(кв.ед.) S=ab:2 S=6 12 : 2 = 36(кв.ед.) 6 12 Прямоугольный треугольник

S тр=S пр-(S 1+S 2+S 3) S пр = 8 12=96 (кв.ед.) S 1 =8 8:2=32 (кв.ед.) S 2=12 4:2=24 (кв.ед.) S 3 =4 4:2=8 (кв.ед.) Sтр =96-(32+8+24)=32 (кв.ед.) 8 12 1 2 3 По формуле Пика В=25, Г=16, S= 25+16:2 – 1=32 (кв.ед.) Произвольный треугольник

8 10 По формуле Пика В = 43, Г=20 S = 43 + 20 : 2 – 1 = 52 (кв.ед) 1 2 Sпр =8 10= 80 (кв.ед) S 1 = 8 3 : 2 = 12 (кв.ед.) S 2 = 8 4 :2 = 16 (кв.ед) S тр = 80 – (12+16) = 52 (кв.ед.) Трапеция

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 11 Sпр = 10 11 = 110 (кв.ед.) S 1= 4  3 = 12(кв.ед.) S 2= 4  3 : 2 = 6(кв.ед.) S 3= 4  1 : 2 = 2(кв.ед.) S 4= 4  4 = 16(кв.ед.) S5 = 5  3 : 2 = 7,5(кв.ед.) S 6= 2  3 = 6(кв.ед.) S 7= 3  3 : 2 = 4,5(кв.ед.) S 8= 2  5 : 2 = 5(кв.ед.) S 9= 4  1 : 2 = 2 (кв.ед.) S 10= 4  1 = 4(кв.ед.) S 11= 3  2 : 2 = 3(кв.ед.) S 12= 2  2 : 2 = 2(кв.ед.) S зв= 110-70 = 40(кв.ед.) По формуле Пика В=31, Г=20 S= 31+20:2-1=40(кв.ед.)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 S 1= 2 2=4 S 2=3 1:2=1,5 S 3=1 1:2=0,5 S 4=1 1=1 S 5=1 1=1 S 6=1 1:2=0,5 S 7=1 1:2=0,5 S 8=3 1:2=1,5 S 9=3 1:2=1,5 S 10=2 1:2=1 S 11=1 2:2=1 S 12=2 1=2 S 13=1 1:2=0,5 S 14=2 6:2=6 S 15=2 1=2 S 16 =1 1:2=0,5 S 17 =2 2:2=2 S 18 =4 11=44 S 19=2 2=4 S 20=2 2:2=2 S 21=3 10=30 S 22=2 1=2 S 23=4 2:2=4 S 24=5 2=10 S 25=1 1:2=0,5 S 26 = 5 8=40 S пр = 14 19=266(кв.ед.) Sв = 266 – 163,5=102,5(кв.ед.)

По формуле Пика В=74, Г=59, S = 74 + 59 : 2 – 1 =102,5(кв.ед.)

Применение формулы Пика

По формуле Пика Г =8, В =21, Sв = 21+8:2-1=24(кв.ед.) S кв = а  а, Sкв = 12 12= 144 (кв.ед.) Sкв : Sв = 144 : 24 = 6 Задача. Середины сторон квадрата соединены отрезками с вершинами. Найти площадь восьмиугольника и отношение площади квадрата к площади восьмиугольника, образованного проведенными отрезками. Ответ : 24 кв.ед., 6 12

Шахматный король обошел доску 8×8 клеток, побывав на каждом поле ровно один раз и последним ходом вернувшись на исходное поле. Ломаная, соединяющая последовательно центры полей, которые проходил король, не имеет самопересечений. Какую площадь может ограничивать эта ломаная? (Сторона клетки равна 1.) По формуле Пика: В=0, Г=64, S = 0 + 64 : 2 – 1 = 31 Так как узлами решетки служат центры 64 полей и, по условию, все они лежат на границе многоугольника. Таким образом, хотя таких траекторий короля достаточно много, но все они ограничивают многоугольники равных площадей.

Шахматный король гроссмейстер Михаил Таль в детстве был потрясен доказательством теоремы, которую нерадивые школьники произносят так: «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Нарисуем на шахматной доске квадрат (Рис. 1). Доска разбивается на пять частей – сам квадрат и четыре одинаковых прямоугольных треугольника. А теперь посмотрим на рисунок 2. здесь те же четыре треугольника, а вместо одного квадрата уже два, но меньшего размера. Треугольники на обоих рисунках одни и те же, а, значит, их площади равны. Следовательно, равную площадь занимают и оставшиеся части доски: на первом рисунке один квадрат, на втором – два. Поскольку большой квадрат построен на гипотенузе прямоугольного треугольника, а маленькие – на его катетах, получаем, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Рисунок 1 Рисунок 2

Эту формулу можно применять и на практике. Фигуру, площадь которой требуется измерить, вычерчивают на миллиметровой бумаге и вычисляют значение площади. Существуют и механические приборы для вычисления площадей плоских фигур так называемые планиметры.

Задание: Выполнив необходимые расчеты, необходимо благоустроить земельный участок для высадки цветов: - Вычислить длину изгороди для участка, - Найти его площадь, - Рассчитайте количество цветочной рассады, если на 1 кв.м. рекомендуют высаживать 50 шт. бархатцев «Золото маккены». Удобрение «Кимира универсал – 2», расход 100 г. на 1 кв.м План: На миллиметровой бумаги начертим форму клумбы. Примем 1 см на бумаге равным 1 м в реальности. Найдем площадь фигуры. Рассчитаем количество цветочной рассады. Рассчитаем удобрение.

Чертёж должен быть очень четким (для подсчета узлов) Формула применяется лишь в том случае, если многоугольник изображен на клетчатой бумаге Недостатки формулы Пика Узкий спектр задач

Наблюдение может привести к открытию Лучший способ изучить что-либо – открыть это самому Выводы Нужно отыскать в задаче то, что может пригодиться при решении других задач (т.е. обнаружить общий метод)

Работу выполнила ученица 5-А класса Октябрьского УВК №1 «Школа-гимназия» Таминова Карина Руководитель: Сапунцова Н.Ю.

Спасибо за внимание