Презентация к уроку математики на тему Способы решения квадратных уравнений

1. Дайте определение квадратного уравнения. 2. Виды квадратных уравнений. 3. Теорема Виета.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

х2 + 2х = 0 х2 – 81 = 0

Определить вид квадратного уравнения и назвать способы его решения Х2 + 6х – 7 = 0 метод выделения полного квадрата решение квадратных уравнений по формулам с использованием теоремы Виета (прямой и обратной)

Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + вх + с =0, где коэффициент а не равен 0. Умножим обе части уравнения на коэффициент а, получаем уравнение а2 х2 + авх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = у/а, тогда приходим к уравнению у2 +ву +ас = 0, равносильному данному. Его корни найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = у1 /а, х2 = у2 /а. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому способ и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета, и когда дискриминант есть точный квадрат. «переброска» коэффициентов

Решить уравнение: 2х2 -11х + 15 = 0. Решение: Коэффициент а=2 умножим на свободный член с=15 («перебросим» коэффициент). Получим уравнение: у2 – 11у + 30 = 0, где х = у/2 2. По теореме Виета получаем: у1=5, у2=6. 3. Х1=5/2=2,5 х2=6/2=3. Ответ. х1 =2,5, х2 = 3. Самостоятельно решить уравнение: I вариант: 4х2 + 12х + 5 = 0 IIвариант: 6х2 + 5х – 6 = 0 «переброска» коэффициентов

Теорема: если сумма коэффициентов квадратного уравнения ах2 + вх + с = 0 равна нулю (т.е. а+в+с=0), то х1 =1, х2 =с/а. Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Решить уравнение: 11х2 + 25х – 36 = 0. Решение: Применим теорему о коэффициентах квадратного уравнения: 11+25+(-36)=0, значит х1 =1, х2 =-36/11. Ответ. х1 =1, х2 =-36/11. Устно решить уравнения: а) 5х2 -7х+2=0 б) 3х2 +5х-8=0

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений с помощью четырехзначных математических таблиц В.М. Брадиса ( таблица XXII, способ описан на стр.83). Номограмма для решения уравнения z2+pz+q=0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Примеры. 1. Для уравнения z2 – 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0 и z2 = 1,0 ( см рис. ). 2. Решим с помощью номограммы уравнение 2z2 -9z + 2 = 0. Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z2 -4,5z+1 = 0. Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 =0,5.

Для уравнения z2 + 5z - 6 = 0 номограмма дает положительный корень z1 = 1,0, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из - р, т. е. z2 = - р - 1 = - 5 - 1 = - 6,0

Для уравнения z2 + 4z + 3 = 0, оба корня которого отрицательные числа, берем z1 = — t1, z2 = - t2 и находим по номограмме два положительных корня t1 и t2 уравнения t2 - 4t + 3 = 0, это t1 = 1 и t2 = 3, а затем Z1 = - t1 = - 1 и z2 = - t2 = - 3. Если коэффициенты р и q выходят за пределы шкалы, то выполняют подстановку z = kt и решают с помощью номограммы уравнение t2 +(p/k)k+ q/k2 =0, где k берут с таким расчетом, чтобы имели место неравенства -12,6 <, p/k <, 12,6, - 12,6 <, q/k2 <, 12,6. p q

Решите с помощью номограммы уравнения: I вариант z2 - 4z + 4 = 0 z2 –z – 6 = 0 z2 + 5z + 4 = 0 II вариант z2 - 7z + 6 = 0 z2 + 4z - 5 = 0 z2 + 5z + 6 = 0 a) z1 =3,5, z2 =1,0 b) z1 =3, z2 = -2 c) z1 = -4, z2 = -1 a) z1 =6,5, z2 =1,5 b) z1 =1, z2 = -5 c) z1 = -3, z2 = -2

Если в уравнении х2 + рх + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х2 = - рх - q. Построим графики зависимостей у = х2 и у= -рх- q График первой зависимости – называется парабола.Она проходит через начало координат. График второй зависимости – прямая. Возможны следующие случаи: - прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пе­ ресечения являются кор­ нями квадратного уравне­ ния ( см рис. ). Графическое решение квадратного уравнения прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т. е. уравнение имеет одно решение. прямая и парабола не имеют общих точек, т. е. квадратное уравнение не имеет корней.

Определить по рисунку, сколько корней имеет квадратное уравнение (обосновать): Х2 – 3х – 4 = 0. Назовите корни этого уравнения.

Определить, сколько корней имеет квадратное уравнение (обосновать): Х2 - 2х + 1 = 0. Назовите корни этого уравнения.

Определить, сколько корней имеет квадратное уравнение (обосновать): Х2 - 2х + 5 = 0. Назовите корни этого уравнения.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. Рассмотрим способ нахождения корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 c помощью циркуля и линейки.

1) Построим центр окружности S( -b 2a,а+с2а) и А(0, 1), 2) проведем окружность с радиусом SA, 3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения. D(х2,0) х 0

1) Радиус окружности больше ординаты центра: окружность пересекает ось Ох в двух точках, т.е. уравнение имеет 2 различных корня. 2) Радиус окружности равен ординате центра окружность касается оси Ох, т.е. уравнение имеет 2 равных корня 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью Ох, т.е. уравнение не имеет корней.

1) х2 – 2х – 3 = 0 х

2) х2 + 4х + 4 = 0

Назовите корни уравнения по предложенному рисунку. 3) х2 – 2х + 3 = 0

Геометрический способ решения квадратных уравнений В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми. Примеры. 1. Решим уравнение х2 + 10х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.). Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 212, следовательно, площадь каждого равна 21 2 х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них 21 2 , а площадь 61 4 . х х х2 212х 21 2х 212х 212х 614 614 614 614 D C B A

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4*212х=10х) и четырех пристроенных квадратов (614*4=25), т.е. S= х2 + 10х + 25. Заменяя х2 + 10 числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т. е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим Х = 8 – 212 – 212 = 3.

Перечислите способы решения квадратных уравнений.

Решить с помощью циркуля и линейки квадратные уравнения: 1) х2 – 2х – 3 = 0 2) х2 + 4х + 4 = 0 3) х2 – 2х + 3 = 0 4) х2 – 5х + 4 = 0