Презентация по геометрии на тему Цилиндр и его элементы(11 класс)

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 Методическое пособие для учащихся 11 классов Составил учитель математики высшей категории Гавинская Елена Вячеславовна. г.Калининград 2016-2017 учебный год

В древности при строительстве грандиозных храмов и дворцов людям приходилось таскать и носить на себе огромные валуны и колонны. Тогда и было замечено, что катать предметы намного легче и удобнее. Примерно так и появились и популяризовались цилиндры. И по сей день эти тела вращения часто встречаются в нашей жизни. В архитектуре, в технике, в мире моды – цилиндры побывали везде.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Определение. Цилиндр (греч. kýlindros, валик, каток) — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью (называемой боковой поверхностью цилиндра) и не более чем двумя поверхностями (основаниями цилиндра).

Другие определения цилиндра. Цилиндр - это фигура, состоящая из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Цилиндром называется тело, ограниченное замкнутой цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими эту поверхность. У Евклида цилиндр получается вращением прямоугольника. У Кавальери – движением образующей (при произвольной направляющей – цилиндрика).

Вклад Евклида в математику. О Евклиде почти ничего неизвестно, откуда он был родом, где и у кого учился. Папп Александрийский (III в.) сообщает, что он был очень доброжелателен ко всем тем, кто сделал хоть какой-нибудь вклад в математику, корректен, в высшей степени порядочен и совершенно лишен тщеславия. Евклид, как и другие великие греческие геометры, занимался астрономией, оптикой и теорией музыки. До нас дошли его сочинения, посвященные прикладным вопросам: Феномены (элементарная сферическая астрономия), Оптика (учение о перспективе) и Сечение канона ( теория музыки). Это были первые прообразы будущих исследований по математической физике: в них теория выводилась строго дедуктивно из явно сформулированных физических гипотез и математических постулатов. Гораздо больше мы знаем о математическом творчестве Евклида. Прежде всего Евклид является для нас автором Начал, по которым учились математики всего мира. Эта удивительная книга пережила более двух тысячелетии, но до сих пор не утратила своего значения не только в истории науки, но и самой математике. Созданная там система евклидовой геометрии и теперь изучается во всех школах мира и лежит в основе почти всей практической деятельности людей. На геометрии Евклида базируется классическая механика, ее апофеозом было появление в 1687 г. Математических начал натуральной философии Ньютона, где законы земной и небесной механики и физики устанавливаются в абсолютном евклидовом пространстве. Содержание Начал далеко не исчерпывается элементарной геометрией - это основы всей античной математики. Здесь подводится итог более чем 300-летнему ее развитию и вместе с тем создается прочная 6aзa для дальнейших исследований. Последующие математики ссылались на предложения Начал, как на нечто окончательно установленное.

Вклад Кавальери в математику. В своем основном труде Геометрия (1635г.) Кавальери развил разработанный им задолго до выхода книги новый метод определения площадей и объемов – так называемый метод неделимых. Неделимыми Кавальери называл параллельные между собой хорды плоской фигуры или параллельные плоскости тела. Важнейший признак неделимости состоит в том, что число измерений его на единицу меньше самого геометрического образа. У плоской фигуры 2 измерения, у ее неделимого, т.е. у отрезка – 1 измерение. Кавальери доказал теорему о том, что площади двух подобных фигур относятся как квадраты, а объемы – как кубы соответствующих неделимых, и установил, что отношение суммы квадратов всех неделимых треугольника к сумме квадратов всех неделимых параллелограмма, имеющего с треугольником одинаковые основания и высоту, равно 1:3. Впоследствии Кавальери нашел аналогичные соотношения для суммы кубов и т.д. до девятой степени неделимых. Труды Кавальери сыграли огромную роль в формировании исчисления бесконечно малых.

Элементы цилиндра. Круги, ограничивающие цилиндрическую поверхность называются основаниями цилиндра. Отрезки образующих, заключенные между основаниями, называются образующими цилиндра, а образованная ими поверхность – боковой поверхностью цилиндра. Ось цилиндрической поверхности называется осью цилиндра.

Свойства цилиндра. Основания равны и параллельны. Образующие равны и параллельны. Все сечения цилиндра плоскостями, параллельными плоскостям оснований цилиндра, равны основаниям цилиндра.

1. Основания циилиндра равны и параллельны. Справедливость этого утверждения следует из того, что множество концов образующих, лежащих в плоскости β, получается из окружности L параллельным переносом на вектор ОО1. Параллельный перенос является движением и, значит, наложением, а при наложении любая фигура переходит в равную ей фигуру. Следовательно, при параллельном переносе на вектор ОО1 окружность L перейдет в равную ей окружность L1 радиуса r с центром в точке О1. Доказательства свойств. α β L L1 о о1

2. Образующие цилиндра равны и параллельны. Все образующие цилиндра перпендикулярны к плоскостям оснований. Но плоскости оснований цилиндра параллельны. Значит, все образующие цилиндра – расстояния между параллельными плоскостями, следовательно, (по теореме) они равны и параллельны.

3. Все сечения цилиндра плоскостями, параллельными плоскостям оснований цилиндра, равны основаниям цилиндра. Действительно, любое такое сечение является общим основанием двух цилиндров, на которые секущая плоскость разбивает данный цилиндр. Поэтому оно равно другим основаниям этих цилиндров, которые являются основаниями исходного цилиндра.

Влияние оснований на цилиндр. Если основания цилиндра плоские (и, следовательно, содержащие их плоскости параллельны), то цилиндр называют стоящим на плоскости. Если основания стоящего на плоскости цилиндра перпендикулярны образующей, то цилиндр называется прямым. В частности, если основание стоящего на плоскости цилиндра — круг, то говорят о круговом (круглом) цилиндре, если эллипс — то эллиптическом. α β

Виды цилиндра. Бесконечное тело, ограниченное замкнутой бесконечной цилиндрической поверхностью, называется бесконечным цилиндром. Прямой круговой цилиндр — это поверхность, образованная вращением одной из параллельных прямых вокруг другой, принятой в качестве оси вращения. Бесконечное тело, ограниченное замкнутым цилиндрическим лучом и его основанием, называется открытым цилиндром. Основание и образующие цилиндрического луча называют соответственно основанием и образующими открытого цилиндра. Конечное тело, ограниченное замкнутой конечной цилиндрической поверхностью и двумя выделившими её сечениями, называется конечным цилиндром, или собственно цилиндром. Сечения называются основаниями цилиндра. По определению конечной цилиндрической поверхности, основания цилиндра равны.

Прямой цилиндр.

Прямым называется такой цилиндр, у которого образующие перпендикулярны основаниям. Определение.

Замечание. В прямом цилиндре : отрезок оси, заключенный между основаниями, равен высоте, равен образующей, т.е. ОО1=AB=h. O O1

Сечения. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник(ABCD). Если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечением является прямоугольник(ENKL). A B C D E N K L

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом. Если секущая плоскость не параллельна образующим, не перпендикулярна к оси и не пересекает основания, то в сечении получится эллипс. Если секущая плоскость не параллельна образующим, не перпендикулярна к оси и пересекает основания, то в сечении получится фигура, изображенная на рисунке.

Площадь поверхности цилиндра. Площадь полной поверхности. Площадь полной поверхности цилиндра - это сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Sполн.=2πR(R+h). Представим, что цилиндр разрезали по образующей АВ. В результате получится прямоугольник АВВ´А´. Этот прямоугольник называется развёрткой боковой поверхности цилиндра. Основание АА´ прямоугольника является разверткой окружности цилиндра =>, АА´=2πR, высота АВ – образующая цилиндра =>, АВ=h. За площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь её развёртки. Т. к. SАВВ´А´=АА´·AB=2πrh, то для вычисления площади Sбок. боковой поверхности цилиндра получается формула Sбок.=2πrh

Определение. Плоскостью, касающейся боковой поверхности цилиндра, называется плоскость, которая имеет с поверхностью цилиндра единственную общую образующую.

Опорная плоскость. Плоскость называется опорной плоскостью данной фигуры, если она имеет с фигурой хотя бы одну общую точку и фигура лежит по одну сторону от неё, т. е. содержится в одном полупространстве, ограниченном этой плоскостью. Говорят: Плоскость, опорная к фигуре в данной её точке. Для любой фигуры и плоскости могут быть лишь 3 исключающих друг друга случая их взаимного расположения: нет общих точек плоскость является опорной плоскость пересекает фигуру

Вписанный и описанный цилиндр.

Вписанный в призму и описанный около неё цилиндр. Определение. Призма называется вписанной в цилиндр, если основания её равные многоугольники, вписанные в основания цилиндра, а боковые рёбра являются образующими цилиндра. ___________________________________________ Определение. Призма называется описанной около цилиндра, если основания её - это многоугольники, описанные около оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра.

Вписанный в сферу и описанный около неё цилиндр. Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается его оснований и боковой поверхности (касается каждой образующей). Иначе. Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается его оснований, а с боковой поверхностью цилиндра имеет общую окружность. Теорема. ►Сферу можно вписать только в такой цилиндр, высота которого равна диаметру основания. Цилиндр называется вписанным в сферу, если окружности оснований цилиндра лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около цилиндра. Шар называется описанным около цилиндра, если основания цилиндра служат сечениями шара.

Историческая справка. На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда – о том, что объемы этих тел относятся как 3:2. Когда римский оратор и общественный деятель Цицерон, живший в I в. до н.э. был в Сицилии, он еще видел заросший кустами и терновником памятник с шаром и цилиндром.

Вписанный в конус и описанный вокруг него цилиндр. Цилиндр называется вписанным в конус, если одно из его оснований имеет с конусом общую окружность, а другое основание лежит на основании конуса. Конус называется вписанным в цилиндр, если его основание совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина конуса лежит на другом основании цилиндра.

Вписанный в пирамиду и описанный около неё цилиндр. Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно из его оснований вписано в многоугольник, получившийся в результате сечения пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание цилиндра лежит на основании пирамиды. Пирамиды называется вписанной в цилиндр, если многоугольник, лежащий в её основании, вписан в основание цилиндра, а вершина пирамиды лежит на другом основании цилиндра.

Объем цилиндра. Теорема. Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту. Дано: цилиндр P, r – радиус основания, h – высота. Доказать: V=Sосн.h

Доказательство: Впишем в данный цилиндр P радиуса r и высоты h правильную n-угольную призму Fn, а в эту призму впишем цилиндр Pn. Обозначим через V и Vn объёмы цилиндров P и Pn, через rn радиус цилиндра Pn. Так как объем призмы Fn равен Sn·h, где Sn – площадь основания призмы, а цилиндр P P содержит призму Fn, которая, в свою очередь, содержит цилиндр Pn, то Vn<, Sn·h <,V (1). Будем неограниченно увеличивать число n. При этом радиус rn цилиндра Pn стремится к радиусу r цилиндра P . Поэтому объем цилиндра Pn стремится к объему цилиндра P: . Из неравенств(1) следует, что и Но Таким образом, V=πr²h (2). Обозначив площадь π·r² основания цилиндра буквой Sосн., из формулы (2) получим V=Sосн.·h

Отрезком цилиндра, или цилиндрической подковкой, называют часть цилиндра, отсекаемую плоскостью, пересекающей одно основание цилиндра и заключенную между этим основанием и секущей плоскостью. Высотой отрезка цилиндра называют наибольшую из образующих CD=H, AB=2a прямое ребро, CE=b – стрелка сегмента основания, α – центральный угол основания в радианах. Боковая поверхность отрезка цилиндра Объем отрезка цилиндра Отрезок цилиндра. H α A B O C D E

Цилиндрической трубой (полым цилиндром) называют тело, ограниченное двумя цилиндрическими круговыми поверхностями с общей осью и различными радиусами и двумя параллельными плоскостями, перпендикулярными образующим. R и r – внешний и внутренний радиусы, δ=(R-r) – толщина цилиндрической трубы, ρ=½(R+r) – средний радиус. Боковая поверхность цилиндрической трубы Sбок.=2πH(R+r). Полная поверхность Sполн.=2π(R+r)(H+R-r)=4πρ(H+δ) и объем V=πH(R²-r²)=2πHρδ Цилиндрическая труба. Н R r

Подобные цилиндры. Два цилиндра называются подобными, если подобны их осевые сечения. Теорема. Боковые и полные поверхности подобных цилиндров относятся как кубы их сходственных линейных элементов (радиусов оснований, высот, образующих). r P r1 P1 h h1

Усеченный цилиндр. Усечённый цилиндр - геометрическое тело, отсекаемое от цилиндра плоскостью, непараллельной основанию и не пересекающей его. Боковая поверхность усеченного цилиндра Полная поверхность Объём круглого усеченного цилиндра равен

Другие виды цилиндра.

Определение. Эллиптический цилиндр - линейчатая цилиндрическая поверхность, уравнение которой может быть приведено к виду

Определение. Гиперболическим цилиндром называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат задаётся уравнением

Определение. Параболическим цилиндром называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением

Круговой цилиндр вдоль пространственной кривой. Спиральный цилиндр.

Винтовая линия. Познакомимся теперь с одной кривой линией, непосредственно связанной с цилиндром. Возьмём на цилиндре радиуса R окружность ABC, лежащую в плоскости, перпендикулярной к оси цилиндра, и будем прямоугольный треугольник КЕС наматывать на цилиндр так, чтобы катет СЕ наматывался на окружность ABC, тогда гипотенуза СК расположится на цилиндре в виде отрезка кривой линии, которая называется винтовой линией (черт. 1). Повернём треугольник КСЕ на 180° вокруг катета СЕ и будем наматывать его на цилиндр в направлении, противоположном тому, в котором наматывался треугольник КСЕ сначала, тогда получим другой отрезок винтовой линии, являющийся продолжением уже полученного (на черт. 1 второе положение ∆КСЕ обозначено через СЕК). C K E K

При неограниченном удлинении катета СЕ получается вся винтовая линия. Витком винтовой линии называется отрезок этой линии между двумя последовательными точками пересечения её с одной и той же образующей. Шагом винта h называется расстояние между этими точками образующей. Угол КСЕ называется углом подъёма винтовой линии и обозначается α. K K E C

Для определения длины l одного витка и шага винта h раc- смотрим прямоугольный треугольник СЕ0К0, у которого катет СЕ0 равен 2πr, а угол К0СЕ0 равен углу подъёма α (черт. 2). Легко видеть, что гипотенуза К0С равна длине 1 витка, а катет К0Е0 равен шагу винта h. Поэтому имеем формулы: α C K0 E0 2πR Черт. 2.

Винтовые линии бывают правовинтовые и левовинтовые. Предположим, что по винтовой линии движется точка. Проекцией винтовой линии на плоскость, перпендикулярную к её оси (будем называть осью винтовой линии ось цилиндра, на котором она расположена), будет, очевидно, окружность. Поэтому если смотреть на винтовую линию в направлении её оси, то будет казаться, что точка движется по окружности. Если точка движется по окружности по часовой стрелке, удаляясь от нас, то винтовая линия называется право- винтовой, если же она движется по часовой стрелке, приближаясь к нам, то винтовая линия называется левовин- товой. Правовинтовую и левовинтовую линии на одном и том же цилиндре с одинаковым углом подъёма совместить нельзя. На черт.1 у нас получилась левовинтовая линия, чтобы получить правовинтовую линию, нужно наматывать треугольник в противоположном направлении.

Цилиндр – не только геометрическое тело.

Цилиндр — одна из главных частей поршневого двигателя внутреннего сгорания. Представляет собой рабочую камеру объемного вытеснения.

Цилиндр у дискового накопителя — это разделение данных на накопителе, используемое при режиме Цилиндр-головка-сектор в жёстком диске(или в гибком диске). Состоит из концентрических слоев на физическом диске, включающих соответствующие круговые дорожки(разделённые в свою очередь на секторы)/ Другими словами, количество цилиндров на накопителе — это число дорожек на одной поверхности диска/ Цилиндр дискового накопителя – совокупность дорожек диска с одинаковыми номерами.

Цилиндр — шляпа из шелкового плюша с небольшими твердыми полями. Цилиндр — головной убор, представляющий из себя высокую шляпу с плоским верхом. Разное о цилиндре. Президент США Авраам Линкольн носил в своём цилиндре письма, финансовые бумаги, законопроекты и заметки. Сергей Есенин писал такое: «Я ношу цилиндр не для женщин,/С глупой страстью в сердце жить не в силе./В нём удобней, грусть свою уменьшив,/Золото овса давать кобыле». В «Незнайке на Луне» Носов всячески высмеивал Скуперфильда за то, что тот носил цилиндр.

Цилиндры фараона.

Цилиндры Фараона - два загадочных предмета цилиндрической формы в руках некоторых древнеегипетских изваяний. Среди специалистов-египтологов не существует единого мнения о происхождении данных предметов. В 1976 году в Закавказье Р.Добровольским и В.Ковтуном была обнаружена старинная эзотерическая рукопись под названием Тайны Жизни и Смерти, в которой содержалась информация о Лунном и Солнечном цилиндрах, изготовленных из цинка и меди с определенным внутренним наполнением. По утверждению неизвестного автора Цилиндры Фараона использовались фараонами и жрецами Древнего Египта для укрепления жизненных сил и общения с богами. Цилиндры Фараона были воссозданы согласно древнему рецепту и затем в течение многих лет исследовались физиком Владимиром Ковтуном. В этих исследованиях принимали участие медики, физики, египтологи, экстрасенсы и парапсихологи. Результаты исследований поразили ученых. Оказалось, что Цилиндры Фараона обладают широчайшим спектром благотворного воздействия на организм человека.

В него входят: помощь при сердечно-сосудистых заболеваниях, нейротрофических заболеваниях, гипертонии, болезнях выводящих путей, астме, бессоннице, головных болях, а также в качестве средства для снятия стрессов и профилактике атеросклероза. Одна из удивительных особенностей Цилиндров Фараона - улучшение работы практически всех основных систем организма (показатели работы этих систем улучшаются в среднем в 2 - 2.5 раза). Согласно мнению ряда врачей, Цилиндры Фараона представляют собой уникальный, самонастраивающийся на каждого человека, физиотерапевтический прибор, созданный гением древнеегипетских ученых. Их целебные свойства, включающие в себя металлотерапию, гальванотерапию и магнитотерапию позволили врачу-биоэнергетику Т.Мешковой разработать эффективную методику использования Цилиндров. Цилиндры Фараона полезны как взрослым людям, так и детям. Они создают в организме человека обстановку, при которой ему гораздо легче справляться со своими бедами. Цилиндры - прекраснее профилактическое средство против ряда болезней. Согласно результатам экспериментов врача Т.Мешковой, Цилиндры Фараона защищают от воздействия излучений различной электронной техники: компьютеров, телевизоров, микроволновых печей и т.д.

Цилиндры в нашей жизни.

Цилиндры в обиходе. Прямой круговой цилиндр имеет большое применение в технике, с примерами прямого кругового цилиндра мы часто встречаемся и в повседневной жизни. Ось в механизме и машине, поверхность подшипника оси, обод маховика, боковые поверхности разных труб, нефтяная цистерна, наконец, консервная банка и рулон газетной бумаги — все эти предметы имеют форму прямого кругового цилиндра. Усеченный цилиндр. Нарезанная колбаса, овощи.

Винтовые линии в нашей жизни. В природе форму винтовой линии имеют усики вьющихся растений. Для примера можно указать на усики винограда, хмеля, фасоли, гороха и других растений, причём усики, закручиваясь, образуют правовинтовую линию, если усик встречает опору слева от себя. Если же при своём перемещении (так называемое, нутационное движение усика, при котором усик описывает в пространстве конус) вертикальная опора встречается справа, то, обвиваясь вокруг этой опоры, усик образует левовинтовую линию. Что касается стеблей вьющихся растений, то они обвиваются вокруг опоры также по винтовой линии, но при этом каждый вид завивается в совершенно определённом направлении. Большинство вьющихся растений, обвиваясь, образует правовинтовую линию, в качестве примера можно привести фасоль, крученый паныч, вьюнок полевой, батат и др., лево- винтовую линию образуют хмель и жимолость.

С примерами винтовой линии мы часто встречаемся в физике и технике. Форму винтовой линии с очень малым углом имеет каждый слой проволоки в индукционной катушке. При равномерной подаче резец токарного станка при обточке цилиндра оставляет на этом цилиндре след в виде винтовой линии. Форму винтовой линии имеет режущая кромка цилиндрических спиральных свёрл. Форма нарезки на всякого рода скрепляющих, регулировочных винтах, болтах и гайках — винтовая линия (причём, как правило, применяется правовинтовая нарезка). При прямолинейном равномерном полёте точка на пропеллере самолёта описывает винтовую линию. Точно так же винтовую линию описывает точка на гребном винте как океанского парохода, так и моторной лодки. Форму винтовой линии имеет штопор, употребляемый для раскупоривания бутылок. Винтовую линию описывает точка крыла самолёта, когда он «входит в штопор». При прямолинейном равномерном полёте винтовочной пули, а также артиллерийского снаряда точки на их поверхности описывают винтовые линии. Во всех перечисленных примерах научно-технического характера при производимых расчётах используются те или иные свойства винтовой линии. Число и характер приведённых примеров говорят о важных практических применениях винтовой линии.