Презентация по алгебре на тему Теория вероятности (9 класс)

Посмотрите, каждый день, каждый шаг в будущее несет нам много сюрпризов, много нового и, в большей мере, невероятного, казалось бы невозможного. Теория вероятности неразрывно связана с нашей жизнью, именно поэтому эти вопросы должны стать неотъемлемой частью школьного курса математики.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Каждая наука при изучении явлений материального мира оперирует теми или иными понятиями, среди которых обязательно имеются основополагающие, (например в геометрии – это точка, прямая, плоскость, для мат.анализа –это функция и ее предел ). В теории вероятности основным является понятие событие.

События обозначаются заглавными латинскими буквами A,B,C и т.д. Событие которое обязательно произойдёт называется достоверным (обозначается символом Ω), а которое не может произойти в результате испытания,- невозможным (символ ø). Пример: В мешке лежат 3 картофелины. Опыт- изъятие овоща из мешка. Достоверное событие - изъятие картофелины, невозможное событие - изъятие кабачка.

Несколько событий называются равновозможными, если в результате опыта ни одно из них не имеет большую возможность появления, чем другие. Пример: В урне лежат 3 бильярдных шара - белый, синий и красный. Однократные изъятия шаров любого цвета – равновозможные события. Результаты события могут быть совместимыми и несовместимыми. События называются несовместимыми (несовместными), если наступление одного из них исключает наступление других, и совместимыми (совместными), если наступление одного из них не исключает наступления других. Событие, которое в данном опыте может как наступить, так и не наступить, называют случайным событием.

Пример: Все двузначные числа написаны на карточках. Ваня случайным образом выбрал одну карточку. Охарактеризуйте как достоверные, невозможные или случайные события: А) на выбранной карточке оказалось простое число, В) на карточке оказалось составное число, С) на карточке оказалось число, не являющееся ни простым, ни составным, Д)на карточке оказалось четное или нечетное число. Решение: События А и В случайные, так как они могут произойти, а могут и не произойти. Событие С невозможное, так как любое число является либо простым, либо составным. Событие Д достоверно, т.к. любое двузначное число либо четно, либо не четно.

Но не все в жизни так четко и ясно, чаще всего мы сталкиваемся именно со случайными событиями, одно из которых более вероятно, другое менее вероятно и в некоторых случаях нужны точные количественные характеристики, нужно уметь охарактеризовать вероятность числом.

А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь оно происходит случайно, значит, не подчиняется закономерностям, алгоритмам, формулам. Оказывается, и в мире случайного действуют определённые законы, позволяющие вычислять вероятность. Этим занимается раздел математики, который так и называется - теория вероятностей.

Вероятность - это мера возможности появления случайного события, она одна и каждое случайное событие имеет своё значение, величину этой вероятности.

Вероятностью случайного события А называют отношение числа элементарных событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех элементарных событий, входящих в полную группу событий. Обозначение: Р(А). Число событий, благоприятствующих событию А, обозначим m, а число событий в полной группе событий - n, тогда по определению имеем: Р(А)=m/n. Пример : 1 Какова вероятность выпадения чётной цифры при однократном выбрасывании игрального кубика?. Решение: Обозначим событие «выпадение чётной цифры» буквой А. Всего элементарных событий 6 (n=6), Элементарных событий, благоприятствующих событию А:3 (m=3). По формуле Р(А)=m/n= 3/6=1/2=0,5 Ответ: 0,5.

Пример : 2 Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала её наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?. Решение: На последнем месте в номере телефона может стоять одна из 10 цифр, все предыдущие цифры никакого значения не имеют. Из n=10 только одна цифра верная, поэтому m=1. Р(А)=m/n=1/10 Ответ:1/10.

Задача 1 Из 1200 чистых компакт-дисков в среднем 72 не пригодны для записи. Какова вероятность того , что случайно выбранный диск пригоден для записи? Решение: Выясним сколько в среднем компакт-дисков пригодны для записи. Для этого 1200-72=1128 Найдем вероятность того, что выбранный диск пригоден к записи т.е. Р(А)=1128/1200=0,94. Ответ: 0,94. Задача 2 Из 1500 карт памяти, поступивших в продажу, в среднем 30 не работает. Какова вероятность того, что случайно выбранная карта работает?. Решение: Узнаем сколько в среднем карт памяти пригодны т.е. 1500-30=1470. Теперь найдем вероятность того , что выбранная карта работает Р(А)=1470/1500=0,98 Ответ: 0,98.

Задача 3 Из 500 мониторов, поступивших в продажу, в среднем 15 не работают. Какова вероятность того, что случайно выбранный монитор работает? Решение: Выясним сколько в среднем мониторов работает. Для этого 500-15=485 Затем найдем вероятность того , что случайно выбранный монитор работает т.е. Р(А)=485/500=0,97 Ответ: 0,97. Задача 4 Из 600 луковиц тюльпанов в среднем 48 не прорастают. Какова вероятность того, что случайно выбранная и посаженная луковица прорастет? Решение: Найдем сколько в среднем луковиц прорастет т.е. 600-48=552 Затем определим вероятность того, что случайно выбранная луковица прорастет т.е. Р(А)= 552/600=0,92 Ответ: 0,92.

Подборка задач: Задача 1 На ипподроме в забеге участвуют 3 лошади: белая с черными пятнами, черная с рыжими пятнами и рыжая с серыми пятнами. Найти вероятность того , что забег выиграет пятнистая лошадь. Решение: Все 3 лошади имеют пятна, следовательно, все трое – пятнистые. Забег выигрывает одна из трех пятнистых лошадей, поэтому рассматриваемое событие является достоверным и его вероятность равна 1. Формально: Р=m/n, где n=3, m=3, Р=3/3=1. Ответ:1.

Задача 2 Петя решил купить конфету. В ассортименте имеется 7 карамелек, 5 леденцов и 4 шоколадные. Какова вероятность, что Петя полакомился ириской? Решение: Среди конфет, имеющихся в ассортименте ирисок, нет, значит, Петя не сможет их купить и рассматриваемое событие является не возможным. Его вероятность равна 0. Ответ: 0.

Задача 3 В корзине у пасхального зайца было 25 яиц: 7 зеленых, 10 красных, 5 желтых, остальные - синие. По пути одно из яиц потерялось. Какова вероятность того, что пропавшим было синее яйцо? Решение: Всего синих яиц в корзине у зайца было 3 (25-7-10-5=3). Используя классическое определение, имеем: всего элементов (яиц): 25 ( значит, n=25), из них синих 3 (m=3), получаем :Р(А)=3/25=0,12. Ответ: 0,12.

Задача 4 В мешке лежат карточки с буквами, из которых должны составить плакат: «Спартак – чемпион, но Зенит- круче!». Знаки препинания пишутся в ручную. Вредная Зина наугад изымает из мешка и прячет одну букву. Найти вероятность того, что она спрятала букву 1)е , 2) а, 3) л, 4) м. Решение: Зина изымает карточку «вслепую», поэтому она может попасть в любую из букв. В надписи имеется 3 буквы «е», 2 – «а», 0 – «л» и 1 – «м», кроме того, всего букв 26. С учетом формулы имеем: Р(Е)=3/26, Р(А)=2/26=1/13, Р(L)=0, Р(М)=1/26 Ответ: 1) 3/26, 2)1/13, 3) 0, 4) 1/26.

Задача 5 Из колоды, содержащей 36 карт, вынимают наугад по одной карте. Какова вероятность следующих событий: А - первым извлечен туз, В - первой извлечена черная карта, С – извлечение второй карты – дама, если первым извлечен туз, Д – извлечение третьей карты- черная масть, если первым извлекли и отложили червового валета, а второй – десятку пик? Решение: Всего в колоде 36 карт: из них 18 –черных и 18 красных, по 9 каждой из 4-х мастей (пики, бубны, трефы, червы) и по 4 каждой из достоинств (4 шестерки, 4 семерки и т.д.). Значит, Р(А)=4/36=1/9 , Р(В)=18/36=1/2. Событие С означает, что из колоды уже извлечена одна карта, то есть осталось 35, а т.к. это дама, то тузов осталось 4, значит, Р(С)=4/35. Событие Д означает, что колода уже лишена двух карт, т.е. осталось 34, а так как вторая была пиковая то, темных карт осталось 17, поэтому Р(Д)=17/34=1/2 Ответ: Р(А)=1/9, Р(В)=1/2, Р(С)=4/35, Р(Д)=1/2.

Задача 6 В дельфинарии проводится викторина, и 100 посетителям дали шары, пронумерованные от 1 до 100, которые затем были ими брошены в бассейн к дельфинам. Какова вероятность того, что дельфин выбросит из воды шар, номер которого делится на 7? Решение: Всего в числах от 1 до 100 существует 14 чисел, делящихся на 7, значит, m=14, n=100 Р=14/100=0,14. Ответ: 0,14.

Задача 7 У 6 щенков далматинцев на хвостах имеется соответственно от 1 до 6 пятен. Какова вероятность того, что у наугад взятого щенка число пятен на хвосте будет не менее 3? Решение: Не менее 3-х пятен означает 3, 4, 5 и 6, поэтому таких щенков 4 из 6. Р=4/6=2/3. Ответ: 2/3.

Среднее арифметическое и медиана ряда чисел.

Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых. Обычно среднее арифметическое находят тогда, когда хотят определить среднее значение для некоторого ряда данных: среднюю урожайность пшеницы с 1 га в районе, средний суточный удой молока от одной коровы на ферме т.п. Заметим, что среднее арифметическое находят только для однородных величин. Причем и для однородных величин вычисление среднего арифметического бывает иногда лишено смысла, например нахождение средней температуры больных в госпитале, среднего размера обуви которую носят учащиеся школы.

На практике при анализе данных в зависимости от конкретной ситуации используют такие показатели, как среднее арифметическое, а также такое понятие, как медиана. Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианной упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Алгоритм нахождения медианы набора чисел: Упорядочить числовой набор (составить ранжированный ряд). Одновременно зачеркиваем “самое большое” и “самое маленькое” число данного набора чисел до тех пор пока не останется одно число или два числа. Если осталось одно число, то оно и есть медиана. 4. Если осталось два числа, то медианой будет среднее арифметическое двух оставшихся чисел.

Задача 1. Ученик получил в течении четверти следующие оценки по алгебре: 5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5. Найдите средний балл и медиану этого набора. Решение: Найдем средний балл, то есть среднее арифметическое: ср = ( 5+4+2+5+5+4+4+5+5+5): 10=44:10 = 4,4 2. Найдем медиану этого набора чисел: Упорядочим набор чисел: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5 Всего 10 чисел, чтобы найти медиану надо взять два средних числа и найти их полусумму. Ме = (5+5):2 = 5

Задача 2. Президент компании получает зарплату 300000 руб. три его заместителя получают по 150000 руб., сорок служащих – по 50000 руб. и зарплата уборщицы составляет 10000 руб. Найдите среднее арифметическое и медиану зарплат в компании. Какую из этих характеристик выгоднее использовать президенту в рекламных целях? Решение: Ср = ( 300000+3·150000+40·50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:45= =61333,33 (руб.) Ме = 50000 руб. В рекламных целях выгоднее использовать среднее арифметическое зарплат, т.к. она выше

Рассмотрим задачи ГИА 2009г. Задача 1 Во время медосмотра взвесили группу первоклассников. Их массы (в килограммах): 20, 23, 19, 25, 18, 24, 25. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от медианы? Решение: Найдем среднее арифметическое данного набора: Ср = (20+23+19+25+18+24+25):7=22 Найдем медиану набора, для этого упорядочим ряд чисел 18, 19, 20, 23, 24, 25, 25. Всего чисел 7, т.е. медианой набора чисел будет число 23. Разность между средним арифметическим этого набора числа и его медианой равна 1. Ответ: 1.

Задача 2. Записана стоимость ( в рублях) пачки сливочного масла «Неженка» в магазинах микрорайона: 26, 32, 31, 33, 24, 27, 37. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?. Решение: Среднее арифметическое набора чисел равно: Ср = (26+32+31+33+24+27+37):7=30 Теперь найдем медиану этого набора: Запишем рад в порядке возрастания 24, 26, 27, 31, 32, 33, 37. Ряд содержит 7 цифр, значит медиана равна 31 Среднее арифметическое данного набора отличается от его медианы на 1. Ответ: 1.

Литература: Бродский И.Л., Мешавкина О.С. «Вероятность и статистика» Москва:«АРКТИ» 2009г. Студенецкая В.Н. « Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей» Волгоград: «Учитель» 2005 г. Мордкович А.Г., Семенов П.В. «События, вероятности. Статистическая обработка данных» Москва: «Мнемозина»2005 г. Гмурман В.Е. «Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике» Москва: Высшая школа 2000г. Ю.Н. Тюрин и др. “Теория вероятностей и статистика”, Издательство МЦНМО, ОАО “Московские учебники”, Москва 2008.