Решение задач на переливание жидкости различными методами

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПЕРЕЛИВАНИЕ ЖИДКОСТИ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ

ВВЕДЕНИЕ Целью данной работы является нахождение наиболее рационального способа решения задач на переливание жидкости. Достижение указанной цели предполагает решение следующих задач: выявить, какие существуют способы решения подобных задач, научиться ими пользоваться, найти условие разрешимости задач. Новизна данной работы заключается в том, что изучаемые способы решения задач на переливание жидкости не рассматриваются достаточно широко. Объект исследования — задачи, в которых требуется разделить жидкость на определённые пропорции. Предмет исследования — способы решения таких задач. Метод исследования — анализ литературы, сравнение, эксперимент.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

РАЗДЕЛ 2 ТИПЫ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ НА ПЕРЕЛИВАНИЕ Первый тип логических задач на переливание — «Водолей». Задача 2.1. Имеются два сосуда. Ёмкость одного из них 9 л, а другого 4 л. Как с помощью этих сосудов набрать из бака 6 л некоторой жидкости? (Жидкость можно сливать обратно в бак.)

Решение задачи первого типа

Второй тип логических задач на переливание — «Переливашка». Задача 2.2 («задача Пуассона»). Некто имеет двенадцать пинт (пинта – 0,57 литра) вина и хочет подарить из него половину, но у него нет сосуда в шесть пинт. У него два сосуда, один в 8, другой – в 5 пинт. Вопрос: каким образом налить шесть пинт в сосуд в восемь пинт?

Решение задачи второго типа

РАЗДЕЛ 3 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА БИЛЬЯРДНОГО СТОЛА Задачи на переливание жидкостей можно очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов стола, имеющего форму параллелограмма. Рассмотрим задачу: как с помощью сосудов объёмом 7 и 11 литров и бочкой с водой отмерить 2 литра воды.

Решение задачи методом бильярдного стола

РАЗДЕЛ 4 МЕТОД ТРЁХЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ Рассмотрим применение этого метода к решению задач, в которых требуется разделить жидкость на определённые пропорции с помощью инструментов, казалось бы, непригодных для этого. Для решения нам понадобятся так называемые трёхлинейные координаты. Обычно для нанесения точек с заданными координатами пользуются миллиметровой бумагой. Для наших целей лучше использовать бумагу, на которой проведены три системы параллельных линий, разбивающих её на маленькие равносторонние треугольники. Нарисуем на такой бумаге большой равносторонний треугольник АВС со сторонами, проходящими по линиям сетки. Тройку чисел (x, y, z) будем называть трёхлинейными координатами точки Р относительно треугольника АВС. Заметим, что для точек, лежащих внутри треугольника АВС, все три координаты положительны.

Задача 4.1. Имеются три бочонка: 16, 11 и 6 - ведёрные. 16 - ведёрный бочонок полон, 11 и 6 - ведёрные пусты. Требуется разделить квас поровну, используя только эти бочонки. Так как по условию задачи у нас имеется 16 л кваса, 3 бочонка ёмкостью 16 л, 11 л и 6 л и первый бочонок полон, то чертим трёхлинейную координатную сетку, а именно: равносторонний треугольник с вершинами А, В, С, координаты которых равны А(16, 0, 0), В(0, 16, 0), С(0, 0, 16).

Определяем область операций: 0  x  16, 0  y  11, 0  z  6. Соответственно, областью операций является пятиугольник, ограниченный прямыми x=0 и x=16, y=0 и y=11, z=0 и z=6. Получили пятиугольник с вершинами, координаты которых (16, 0, 0), (10, 0, 6), (0, 10, 6), (0, 11, 5), (5, 11, 0). Определяем 2 точки: начало операций в точке (16, 0, 0) и конец операций в точке (8, 8, 0), так как по условию задачи 16 л кваса находятся в 16-ти литровом бочонке, а два других пусты, и требуется разделить 16 л пополам.

РАЗДЕЛ 5 УСЛОВИЕ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧ Если объёмы двух меньших сосудов не имеют общего делителя (т.е. взаимно просты), а объём третьего сосуда больше или равен сумме объёмов двух меньших, то с помощью этих трех сосудов можно отмерить любое целое число литров, начиная с 1 литра и заканчивая объёмом среднего сосуда. Имея, например, сосуды вместимостью 15, 16 и 31 литр, мы сумеем отмерить любое количество воды от 1 до 16 литров. Такая процедура невозможна, если объёмы двух меньших сосудов имеют общий делитель. Когда объём большего сосуда меньше суммы объёмов двух других, возникают новые ограничения. Если, например, объёмы сосудов равны 7, 9 и 12 литрам, то у ромбического стола надо отсечь верхний правый угол. Тогда шар сможет попасть в любую точку от 1 до 9, за исключением точки 6. Несмотря на то, что 7 и 9 взаимно просты, отмерить 6 литров воды оказывается невозможным из-за того, что самый большой сосуд имеет слишком маленький объём.

заключение В данной работе рассмотрены различные способы решения задач на переливание. Для задач на переливание жидкости самый быстрый способ решения —метод бильярдного стола. Этот способ является ещё и очень интересным. Метод трёхлинейных координат несколько сложнее, хотя при правильном подходе он переходит в метод бильярдного стола. Цель данной работы достигнута. Гипотеза нашла своё подтверждение. Таким образом, способы решения задач на переливание жидкости можно использовать для решения задач на смеси, задач на справедливый делёж имущества, а также на обмен имуществом.

ЛИТЕРАТУРА Гальперин Г.А., Математические бильярды / Земляков А.Н., Гальперин Г.А — 1990. Борахеостов В., Бильярды / Борахеостов В. / Наука и жизнь. 1966. №№ 2-4, 6, 11. Гальперин Г.А., Бильярды / Гальперин Г.А. // Квант. 1981. №4. Земляков А.Н., Математика бильярда / Земляков А.Н. / Квант. 1976. № 5. Земляков А.Н., Арифметика и геометрия столкновений / Земляков А.Н. / Квант. 1978. №4. Земляков А.Н., Бильярды и поверхности / Земляков А. Н. // Квант. 1979. №9. Гальперин Г.А., Периодические движения бильярдного шара / Гальперин Г.А., Степин А. М. / Квант. 1989. № 3. Я.И.Перельман., Занимательная геометрия М: ГИФМЛ, 1959, с.238.