Презентация на тему Доказательства теоремы Пифагора

Преподаватель лицея при КазГАСА Ауэлбекова Г.У. «Теорема Пифагора и различные способы её доказательства». 2016

ЦЕЛЬ : Основная задача состоит в том, чтобы рассмотреть различные способы доказательства теоремы Пифагора. Показать, какое значение имеет теорема Пифагора в развитии науки и техники, в математике в целом.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Из биографии Пифагора Самое большее, что известно сейчас народонаселению об этом уважаемом древнем греке, укладывается в одну фразу: Пифагоровы штаны на все стороны равны. Авторов этой дразнилки явно отделяют от Пифагора века, иначе бы они дразниться не посмели. Потому что Пифагор - вовсе не квадрат гипотенузы, равный сумме квадратов катетов. Это знаменитый философ. Пифагор жил в шестом веке до нашей эры, имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - убеждающий речью.) Своими речами приобрёл 2000 учеников, которые вместе со своими семьями образовали школу-государство, где действовали законы и правила Пифагора. Он первый дал название своему роду деятельности. Слово философ, как и слово космос достались нам от Пифагора. В его философии много космического. Он утверждал, что для понимания Бога, человека и природы надо изучать алгебру с геометрией, музыку и астрономию. Кстати, именно пифагорейская система знаний, и называется по-гречески математикой. Что касается пресловутого треугольника с его гипотенузой и катетами, то это, согласно великому греку, больше, чем геометрическая фигура. Это ключ ко всем зашифрованным явлениям нашей жизни. Всё в природе, говорил Пифагор, разделено на три части. Поэтому прежде чем решать любую проблему, её надо представить в виде треугольной диаграммы. Узрите треугольник - и задача на две трети решена.

Сейчас существует три формулировки теоремы Пифагора: 1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 2. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. 3. Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равносоставлен с квадратами, построенными на катетах. Обратная теорема Пифагора: Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a2 + b2 = c2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. в а с

Из истории теоремы Из истории теоремы Строго говоря, хоть теорема и называется «теоремой Пифагора», сам Пифагор ее не открывал. Прямоугольный треугольник и его особенные свойства изучались задолго до него. Есть две полярных точки зрения на этот вопрос. По одной версии Пифагор первым нашел полноценное доказательство теоремы. По другой доказательство не принадлежит авторству Пифагора. Сегодня уже не проверишь, кто прав, а кто заблуждается. Известно лишь, что доказательства Пифагора, если оно когда-либо существовало, не сохранилось. Впрочем, высказываются предположения, что знаменитое доказательство из «Начал» Евклида может принадлежать как раз Пифагору, и Евклид его только зафиксировал. Также сегодня известно, что задачи о прямоугольном треугольнике встречаются в египетских источниках времен фараона Аменемхета I, на вавилонских глиняных табличках периода правления царя Хаммурапи, в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» и древнекитайском сочинении «Чжоу-би суань цзинь». Как видим, теорема Пифагора занимала умы математиков с древнейших времен. Подтверждением служит и около 500 разнообразных доказательств, существующих сегодня. В этом с ней не может тягаться ни одна другая теорема. Среди знаменитых авторов доказательств можно вспомнить Леонардо да Винчи и двадцатого президента США Джеймса Гарфилда. Все это говорит о чрезвычайной важности этой теоремы для математики: из нее выводится или так или иначе с нею связано большинство теорем геометрии. .

Формулировки Формулировки теоремы в переводе с греческого, латинского и немецкого языков У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол. Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ), сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит: Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол. В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так : Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу. В первом русском переводе евклидовых Начал, сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол.

Конструкция, используемая для доказательства следующая: для прямоугольного треугольника с прямым углом , квадратов над катетами и и квадрата над гипотенузой строится высота и продолжающий её луч , разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника и . Доказательство нацелено на установление равенства площадей прямоугольника с квадратом над катетом , равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат гипотенузой и прямоугольника над другим катетом аналогичным образом. Равенство площадей прямоугольника и устанавливается через конгруэнтность треугольников и , площадь каждого из которых равна половине площади квадратов и соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямой угла и угла при . Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата над гипотенузой, составленного из прямоугольников и , равна сумме площадей квадратов над катетами. ПРОСТЕЙШЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

AJ- высота, опущенная на гипотенузу. Докажем, что её продолжение делит построенный на гипотенузе квадрат На два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих Квадратов, построенных на катетах. Докажем, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH. Треугольник ABD=BFC (по двум сторонам и углу между ними BF=AB, BC=BD, угол FBC=углу ABD).

S треугольника ABD=1/2 Sпрямоугольника BJLD, т.к. у треугольника ABD и Прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. АНАЛОГИЧНО, S треугольника FBC=1/2 S прямоугольника ABFH(BF-общее Основание, AB-общая высота). Отсюда, учитывая, что S треугольника ABD =S треугольника FBC, имеем: S BJLD=S ABFH. АНАЛОГИЧНО, используя равенство треугольников BCK и ACE, доказывается, Что S JCEL=S ACKG. S ABFH+S ACKJ=S BJLD+ S JCEL=S BCED. S треугольника=1/2AB x BD=1/2LD x BD=1/2 S BJLD Теорема доказана. A L B D

Доказательство индийского математика Бхаскари а в с в а - в в в с Метод Бхаскари заключается в следующем: выразить площадь квадрата, построенного на гипотенузе ( с ² ), как сумму площадей треугольников ( 4S = 4· 0,5 а в) и площадь квадрата ( а – в ) ². То есть получается, что с ² = 4 · 0,5 а в + ( а – в ) ² с ² = 2 а в + а ² - 2 а в + в ² с ² = а ² + в ² Теорема доказана.

Доказательство Вальдхейма а в с а в с Вальдхейм пользуется тем, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, а площадь трапеции равна произведению полусуммы параллельных оснований на высоту. Теперь, чтобы доказать теорему, достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями S трапеции = 0,5(а + в) (а + в) = 0,5 (а + в) ² S трапеции = 0,5 а в + 0,5 а в + 0,5 с ² Приравнивая правые части, получаем 0,5 (а + в) ² = 0, 5 а в + 0,5 а в + 0,5 с ² (а + в) ² = а в + а в + с ² а ² + 2 а в + в ² = 2 а в + с ² с ² = а ² + в ² Теорема доказана

Доказательство Хоукинса А В С А1 В1 а в Д с а в с 1. Повернём прямоугольный ∆АВС (с прямым углом С) вокруг центра в точке С на 90º таким образом, чтобы он занял положение А1 В1 С , как показано на рисунке. 2. Продолжим гипотенузу В1 А1 за точку А1 до пересечения с линией АВ в точке Д. Отрезок В1 Д будет высотой ∆В1АВ ( так как ∟В1ДА = 90º). 3. Рассмотрим четырёхугольник А1АВ1В. С одной стороны SА1АВ1В =SСАА1 + SСВВ1 =0,5в · в + 0,5а · а=0,5(а² + в²) С другой стороны SА1АВ1В = SА1ВВ1 + SАА1В1 = 0,5 с · ВД + 0,5 с · АД = = 0,5 · с ·(АД + ВД) = 0,5 · с ² Приравнивая полученные выражения, получим 0,5 (а² + в²) = 0,5 с² а² + в² = с² Теорема доказана.

Геометрическое доказательство. ( Метод Гофмана) Построим треугольник ABC с прямым углом С. Построим BF=CB, BFCB Построим BE=AB, BEAB Построим AD=AC, ADAC Точки F, C, D принадлежат одной прямой.

Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ABF=ЕCB. Треугольники ADF и ACE равновелики. Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников общий для них треугольник ABC, получим: 1/2а2+1/2b 2=1/2с 2 Соответственно: а2+ b 2 =с 2 Теорема доказана.

Алгебраическое доказательство (метод Мёльманна) Площадь данного прямоугольника с одной стороны равна 0.5ab, с другой 0.5pr, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности (r=0.5(a+b-c)). A C

Имеем: 0.5ab=0.5pr=0.5(a+b+c)*0.5(a+b-c) Отсюда следует, что с2= а2+b2 Теорема доказана. A C

Значение теоремы Пифагора Теорема Пифагора по праву является одной из основных теорем математики. Значение этой теоремы заключается в том, что при ее помощи можно вывести большую часть теорем в геометрии. Ценность ее в современном мире также велика, поскольку теорема Пифагора применяется во многих отраслях деятельности человека. Например, ее используют при расположении молниеотводов на крышах зданий, при производстве окон некоторых архитектурных стилей и даже при вычислении высоты антенн операторов мобильной связи. И это далеко не весь перечень практического применения данной теоремы. Вот почему очень важно знать теорему Пифагора и понимать ее значение.

Теорема Пифагора в литературе. Пифагор- это не только великий математик, но и великий мыслитель своего времени.Познакомимся с некоторыми его философскими высказываниями…

1. Мысль — превыше всего между людьми на земле. 2. Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно). 3. Уходя, не оглядывайся (т. е. перед смертью не цепляйся за жизнь). 4. По торной дороге не ходи (т. е. следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих). 5. Ласточек в доме не держи (т. е. не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык). 6. Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает (т. е. поощряй людей не к праздности, а к добродетели, к труду). 7. В перстне изображений не носи (т. е. не выставляй напоказ перед людьми, как ты судишь и думаешь о богах).

Но, конечно, одна из самых главных заслуг Пифагора – это доказательство теоремы, которая носит его имя Теорема Пифагора нашла свое отражение и в литературе. А точнее в : В легендах. В стихах и песнях. В анекдотах.

Легенда о смерти Пифагора. Сонную тишину ночного Метапонта прорезал ужасный крик. Послышалось падение на землю тяжелого тела, топот убегающих ног, и все смолкло. Когда ночной караул прибыл на место происшествия, в колеблющемся свете факелов все увидели распростертого на земле Старца и неподалеку от него - мальчика 12 лет с лицом, перекошенным от ужаса. - Кто это? - спросил начальник караула у мальчика. - Это Пифагор, - ответил тот. - Кто такой Пифагор? Среди жителей города нет гражданина с таким именем. -Мы недавно прибыли из Кротона. Мой господин должен был скрываться от врагов, и выходил только ночью. Они выследили его и убили. - Сколько их было? -Я этого не успел заметить в темноте. Они отбросили меня в сторону и накинулись на него. Начальник караула стал на колени и приложил руки к груди старца. - Конец, - сказал он.

Любовный треугольник Пифагора. Здесь не помогут ямб и дольник, хорей и дактиль грудь не выставят. Попав в любовный треугольник, готовься выдюжить и выстоять, на плечи взять хрустальным грузом сознанье: разобьешься вдребезги! - И по его гипотенузе пройти, страховкою побрезговав, измерить все своим аршином, и торопясь - ведь все мы смертные! - его углы, его вершины постичь без всякой геометрии: лбом - об углы! Вершины - приступом сердечным, нитроглицериновым (уж если кудри серебристые, не дорожить же сердцевиною!) Ни теореме Пифагора не поддается он, ни времени - Любви Бермудский Треугольник разносторонний, тазобедренный...

Пребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век. Обильно было жертвоприношенье Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье За света луч, пришедший с облаков. Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, ее почуя, вслед. Они не в силах свету помешать. А могут лишь, закрыв глаза, дрожать От страха, что вселил в них Пифагор. Эти стихи написал немецкий писатель-романист А Шамиссо в начале XIX в., участвуя в кругосветном путешествии на русском корабле «Рюрик».

Заключение На данный момент в научной литературе зафиксировано около 500 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.