Презентация по математике Теорема Пика

Теорема Пика Использование формулы Пика для нахождения площади многоугольников Подготовила: учитель математики ГБОУ «Шебекинская гимназия-интернат» Клевцова С.В.

Георг Александр Пик  (10 августа 1859 – 13 июля 1942) Учёба Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг окончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. В 1880 году Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов». В 1881 году он получил место на кафедре физики в Пражском университете. В 1882 году написал работу «Об интеграции гиперэллиптических дифференциалов логарифмами». В 1884 году Пик уехал в Лейпцигский университет. Позже, в 1885 году, он вернулся в Прагу, где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры. Работы Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца — Пика. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Формула Пика В вариантах ЕГЭ присутствует целая группа заданий, в которых дан многоугольник, построенный на клеточной бумаге, и поставлен вопрос о нахождении его площади. Масштаб клетки это один квадратный сантиметр. Площади типовых многоугольников, таких как параллелепипед, трапеция и треугольник, легко найти через соответствующие формулы площадей фигур. Но что делать, если у представленной фигуры нет специальной формулы нахождения площади? В таком случае уместно использование формулы Пика для нахождения площади многоугольника. М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах) N – количество узлов внутри треугольника *Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий. Формула Пика

Доказательство теоремы Пика Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата. Действительно, в этом случае мы имеем    и . Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны a и b . Имеем в этом случае   и, по формуле Пика,  Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами  и , рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат целочисленных точек. Тогда для этого случая и получаем, что    Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник (см. рисунки). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к многоугольникам. Любой многоугольник можно разбить на треугольники (например, диагоналями). Поэтому нужно просто доказать, что при добавлении любого треугольника к произвольному многоугольнику формула Пика остается верной. Пусть многоугольник M и треугольник T  имеют общую сторону. Предположим, что для M формула Пика справедлива, докажем, что она будет верна и для многоугольника, полученного из M добавлением T. Так как M и T имеют общую сторону, то все целочисленные точки, лежащие на этой стороне, кроме двух вершин, становятся внутренними точками нового многоугольника. Вершины же будут граничными точками. Обозначим число общих точек через  и получим   — число внутренних целочисленных точек нового многоугольника,  — число граничных точек нового многоугольника. Из этих равенств получаем Так как мы предположили, что теорема верна для M и для T по отдельности, то Тем самым, формула Пика доказана. Теорема Пика доказана.

Рассмотрим пример. 1. Возьмём многоугольник без специальной формулы нахождения площади: 2. Отметим узлы: M = 11 (обозначены красным) N = 5 (обозначены синим) Ответ: 9,5

Источники https://matematikalegko.ru/formuli/ploshhad-figury-na-liste-v-kletku-formula-pika.html http://hijos.ru/2011/09/14/formula-pika/ https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9F%D0%B8%D0%BA%D0%B0 https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D0%BA,_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3