Презентация по геометрии на тему Тетраэдр и его свойства

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 Методическое пособие для учащихся 10 классов Составил учитель математики первой категории Гавинская Елена Вячеславовна. г.Калининград 2015-2016 учебный год

Определение. Многогранник, составленный из n-угольника А1А2A3…Аn и n треугольников с общей вершиной, называется пирамидой.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Многоугольник А1А2А3…Аn называется основанием, а треугольники- боковыми гранями пирамиды. Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА1,РА2,…,РАn – ее боковыми ребрами. Пирамиду с основанием А1А2…Аn и вершиной Р обозначают : РА1А2…Аn и называют n-угольной пирамидой. Определение.

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. Определение.

Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром ее основания, является высотой данной пирамиды. SАВСD – правильная пирамида. АВСD – квадрат (правильный четырехугольник). SО – высота. Определение.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. Определение.

Свойства правильной пирамиды. Все боковые ребра правильной пирамиды равны. Боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками. Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу. Двугранные углы при основании равны. Двугранные углы при боковых ребрах равны. Каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания. Каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней.

8. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему : 9. В правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра взаимно перпендикулярны. 10. Плоскость, проходящая через высоту правильной пирамиды и высоту боковой грани, перпендикулярна к плоскости боковой грани. Sбок = ½ ∙ Росн ∙d

Поверхность, составленная из четырех треугольников АВС, АВD, ВСD и АСD, называется тетраэдром и обозначается так: DАВС. !!! Тетраэдр – простейшая пирамида. Определение.

Слово «тетраэдр» образовано из двух греческих слов: tetra – «четыре» и hedra – «основание, грань». Тетраэдр ABCD задается четырьмя своими вершинами – точками A, B, C, D, не лежащими в одной плоскости: грани тетраэдра – четыре треугольника, ребер у тетраэдра шесть. В отличие от произвольной пирамиды (n – угольной пирамиды, n≥4) , в качестве основания тетраэдра может быть выбрана любая его грань. ∆АВС,∆АВD,∆АСD, ∆ВСD – грани тетраэдра АВСD, АВ,АС,АD,ВС,СD,ВD – ребра тетраэдра.

«плоскость, проходящая через середины двух ребер основания тетраэдра и вершину, не принадлежащую этому основанию, параллельна третьему ребру основания». Свойство тетраэдра:

Дано: РАВС – тетраэдр, М – середина АС: МА=МС, К – середина ВС: ВК=КС Доказать: (РМК)║ВС

Для любого тетраэдра справедлив аналог теоремы о пересечении медиан треугольника в одной точке, в которой они делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Так, 6 плоскостей, проведенных через ребра тетраэдра и середины противолежащих ребер, пересекаются в одной точке – в центроиде тетраэдра. Медианами в тетраэдре называются отрезки, соединяющие его вершины с центроидами противоположных граней. Эти четыре отрезка всегда пересекаются в одной точке О и делятся в ней в отношении 3:1, считая от вершин. Медианы тетраэдра.

PABC– тетраэдр, РМ и АК – медианы тетраэдра, т.О – точка пересечения медиан тетраэдра РАВС.

Через точку О проходят и бимедианы – отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, причем они делятся точкой О пополам. Бимедианы тетраэдра.

РАВС – тетраэдр, МН и КЕ – бимедианы тетраэдра, причем МО=ОН и КО=ОЕ.

Проведем через каждое ребро тетраэдра плоскость, параллельную противоположному ребру. Получим три пары параллельных плоскостей, ограничивающих параллелепипед, называемый описанным параллелепипедом тетраэдра. Ребра тетраэдра являются диагоналями граней параллелепипеда, середины ребер – их центроидами. Отсюда следует, что все бимедианы проходят через центр O параллелепипеда и делятся им пополам. Нетрудно увидеть, что медианы тетраэдра лежат на диагоналях граней параллелепипеда и также проходят через точку O. Центроид тетраэдра, как и центроид треугольника, является центром равных масс, помещенных в его вершины, – обстоятельство, которое можно использовать для доказательства приведенных выше свойств. Чисто геометрически их можно доказать с помощью следующей полезной конструкции.

Медианы тетраэдра «ведут себя примерно» – как и в треугольнике, они всегда проходят через одну и ту же точку. Иначе обстоит дело с высотами – перпендикулярами, опущенными из вершин тетраэдра на противоположные грани. Высоты треугольника пересекаются в одной точке – ортоцентре. То же верно и для правильных тетраэдров, в частности для правильных треугольных пирамид. Ортоцентрический и прямоугольный тетраэдры.

И все же ортоцентр существует у достаточно широкого класса тетраэдров. Они так и называются – ортоцентрические тетраэдры. Любой из них можно получить, взяв в качестве основания произвольный треугольник и соединив его вершины с любой точкой на перпендикуляре к его плоскости, восстановленном из его ортоцентра. И обратно, основания всех высот ортоцентрического тетраэдра – ортоцентры его граней.

Приведем еще несколько критериев (т.е. необходимых и достаточных условий) ортоцентричности: тетраэдр является ортоцентрическим тогда и только тогда, когда его противоположные ребра перпендикулярны, или середины всех шести ребер лежат на одной сфере, или все ребра описанного параллелепипеда равны. Некоторые свойства треугольника, связанные с ортоцентром, например, теорема о прямой Эйлера и об окружности девяти точек в соответственно измененном виде, можно найти и у ортоцентрического тетраэдра.

Центроид ортоцентрического тетраэдра лежит на отрезке между ортоцентром H и центром описанной сферы O и делит этот отрезок пополам, а точка, которая разбивает отрезок OH в отношении 1:2 является центром «сферы 12 точек» – на ней лежат ортоцентры и центроиды всех граней, а также точки, делящие отрезки от H до вершин в отношении 1:2. Об одном виде ортоцентрических тетраэдров стоит сказать отдельно – о тетраэдре, в вершине М которого сходятся три взаимно перпендикулярных ребра. Очевидно, эта вершина M и будет его ортоцентром. Такой тетраэдр называется прямоугольным. Для него выполняется своего рода «теорема Пифагора»: «Если S1, S2, S3 – площади его прямоугольных граней («катетов»), а S – площадь четвертой грани («гипотенузы»), то: S2= S12+ S22+ S32».

Правильный тетраэдр. Правильный тетраэдр – это тетраэдр, все грани которого – равносторонние треугольники.

Теоремы, отражающие особые свойства правильного тетраэдра. В правильном тетраэдре отрезки, соединяющие центры граней, равны друг другу. Центры граней правильного тетраэдра являются вершинами другого правильного тетраэдра.

Доказательство первого свойства. Дано: МРКН – правильный тетраэдр, т.А, т.В, т.С, т.Е – соответственно центры граней правильного тетраэдра: МРН, МРК, КРН, МКН. Доказать: АВ=ВС=АС=АЕ=ВЕ=СЕ

Доказательство второго свойства. Дано: МРКН – правильный тетраэдр, т.А, т.В, т.С, т.Е – соответственно центры граней правильного тетраэдра: МРН, МРК, КРН, МКН. Доказать: АВСЕ – правильный тетраэдр.

Самый симметричный тетраэдр - правильный, ограниченный 4 правильными треугольниками. Он имеет 6 плоскостей симметрии – они проходят через каждое ребро перпендикулярно противолежащему ребру и 3 оси симметрии, проходящие через середины противолежащих ребер (рис.1). Симметрия в тетраэдре.

Менее симметричны правильные треугольные пирамиды (т.е. тетраэдры с равными гранями – 3 оси симметрии). Правильная пирамида переходит сама в себя при поворотах вокруг высоты на 120˚и 240˚ (Рис.2).

Сечения тетраэдра. Т.к. тетраэдр имеет четыре грани, то в сечении могут получаться либо треугольники, либо четырехугольники.

Особые пирамиды и тетраэдры.

Семиголовковая пирамида. Одна из вершин заметна сразу, остальные же немного труднее найти. Пирамида Шивы.

Энергетический звёздный тетраэдр. Вокруг женщины. Вокруг мужчины.

Пищевая пирамида.