Презентация по математики Функции и графики

Департамент профессионального образования Томской области   Областное государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение   «Томский коммунально-строительный техникум» Презентация к уроку математики на тему: «Функции и их графики» Преподаватель: Шевчук Наталья Сергеевна Томск – 2016 г. *

Содержание: Функции и их графики. Преобразование графиков функций. Свойства функций. *

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Функции Линейная функция Квадратичная функция Степенная функция Обратная пропорциональность Показательная функция Логарифмическая функция Тригонометрические функции *

Линейная функция y = kx + b k – угловой коэффициент k = tg α b – свободный коэффициент b x y α 0 Свойства линейной функции *

Квадратичная функция y = ax2 + bx + c, а ≠ 0 x y 0 c x1 x2 xв ув Свойства квадратичной функции *

Степенная функция y = xn x y 0 y = xn, где n = 2k, k  Z y = xn, где n = 2k +1, k  Z Свойства степенной функции 1 1 *

Обратная пропорциональность 0 x y Свойства обратной пропорциональности *

Степенная функция y = x-n, n – четное 0 x y Свойства степенной функции *

0 x y Свойства степенной функции Степенная функция y = x-n, n – нечетное *

Показательная функция x y y = ax, а >, 0, a ≠ 1 y = ax a >, 1 y = ax 0 <, a <, 1 1 0 Свойства показательной функции *

Логарифмическая функция y = loga x a >, 1 x y y = loga x 0 <, a <, 1 1 0 y = loga x , а >, 0, a ≠ 1 Свойства логарифмической функции *

Тригонометрические функции y = sin x и y = cos x y = sin x x y 0 1 -1 y = cos x Свойства функции y = sin x Свойства функции y = cos x *

Тригонометрические функции y = tg x и y = ctg x 0 1 -1 Свойства функции y = tg x Свойства функции y = ctg x y = ctg x y = tg x у π −π −2π 2π x *

Геометрические преобразования графиков Преобразование вида y = f(x)+ b Преобразование вида y = f(x – a) Преобразование вида y = kf(x) Преобразование вида y = f(mx) Преобразование вида y = |f(x)| Преобразование вида y = f(|x|) Преобразование вида |y|= f(x) *

1. Преобразование вида y = f(x)+b — Это параллельный перенос графика функции y = f(x) на b единиц вдоль оси ординат Если b >, 0, то происходит Если b <, 0, то происходит *

1. Преобразование вида y = f(x)+b x y 0 b y = x2 y = x2 + b *

2. Преобразование вида y = f(x – a) — Это параллельный перенос графика функции y = f(x) на а единиц вдоль оси абсцисс Если а >, 0, то происходит Если а <, 0, то происходит *

2. Преобразование вида y = f(x – a) x y 0 y = (x – a)3 y = x3 a *

3. Преобразование вида y = kf(x) — Это растяжение (сжатие) в k раз графика функции y = f(x) вдоль оси ординат Если , |k| >, 1, то происходит Если , |k| <, 1, то происходит *

3. Преобразование вида y = kf(x) x y 1 1 k 0 *

4. Преобразование вида y = f(mx) — Это растяжение (сжатие) в m раз графика функции y = f(x) вдоль оси абсцисс Если , |m|>, 1, то происходит Если , |m|<, 1, то происходит *

4. Преобразование вида y = f(mx) 0 x y 1 1 y = x2 y = (mx)2 *

5. Преобразование вида y = |f(x)| — Это отображение нижней части графика функции y = f(x) в верхнюю полуплоскость относительно оси абсцисс с сохранением верхней части графика y = |f(x)| *

5. Преобразование вида y = |f(x)| x y 0 y = kx + b y = |kx + b| *

6. Преобразование вида y = f (|x|) — Это отображение правой части графика функции y = f(x) в левую полуплоскость относительно оси ординат с сохранением правой части графика y = f (|x|) *

6. Преобразование вида y = f (|x|) 0 x y *

— Это отображение верхней части графика функции y = f(x) в нижнюю полуплоскость относительно оси абсцисс с сохранением только верхней части графика |y| = f(x) 7. Преобразование вида |y|= f(x) *

7. Преобразование вида |y|= f(x) x y 0 y = kx + b |y|= kx + b *

Свойства функций Свойства линейной функции Свойства квадратичной функции Свойства степенной функции Свойства обратной пропорциональности Свойства показательной функции Свойства логарифмической функции Свойства тригонометрических функций: y = sin x y = tg x y = cos x y = ctg x *

Свойства линейной функции 1 D(y) = (−∞, +∞), E(y) = (−∞, +∞). 2 Если b = 0, то функция нечетная. Если b ≠ 0, то функция ни четная, ни нечетная. 3 Если х = 0, то у = b, если у = 0, то х = − . 4 Если k >, 0, то функция возрастает при х(−∞, +∞). Если k <, 0, то функция убывает при х(−∞, +∞). y = kx + b *

Свойства квадратичной функции 1 D(y) = (−∞, +∞). 2 Если a >, 0, то E(y) = [ув , +∞), Если a <, 0, то E(y) = (−∞, ув ]. 3 Если b = 0, то функция четная. Если b ≠ 0, то функция ни четная, ни нечетная. 4 Если х = 0, то у = c, если у = 0, то х1,2 = 5 Если a >, 0, то функция возрастает при х[xв , +∞), функция убывает при х(−∞, хв ]. Если a <, 0, то функция возрастает при х(−∞, хв ], функция убывает при х[xв , +∞). y = ax2 + bx + c, а ≠ 0 *

Свойства степенной функции y = xn Если n = 2k, где k  Z 1 D(y)=(−∞, +∞). 2 E(y)=[0 , +∞). 3 Функция четная. 4 Если х = 0, то у = 0. 5 Функция возрастает при х[0 , +∞), убывает при х(−∞, 0]. Если n = 2k +1, где k  Z 1 D(y)=(−∞, +∞). 2 E(y)=(−∞, +∞). 3 Функция нечетная. 4 Если х = 0, то у = 0. 5 Функция возрастает при х(−∞, +∞). *

Свойства обратной пропорциональности 1 D(y) = (−∞, 0)u(0, +∞) 2 E(y) = (−∞, 0)u(0 , +∞) 3 Функция нечетная. 4 х ≠ 0, у ≠ 0. 5 Если k >, 0, то функция убывает при х(−∞, 0)u(0, +∞). Если k <, 0, то функция возрастает при х(−∞, 0)u(0, +∞). *

Свойства степенной функции y = x-n Если n = 2k, где k  Z 1 D(y)=(−∞, 0)U(0, +∞). 2 E(y)=(0 , +∞). 3 Функция четная. 4 Если х = 1, то у = 1. 5 Функция возрастает при х(−∞, 0), убывает при х(0 , +∞). 6 функция ограничена снизу прямой у = 0. Если n = 2k +1, где k  Z 1 D(y)=(−∞, 0)U(0, +∞). 2 E(y)=(−∞, 0)U(0, +∞). 3 Функция нечетная. 4 Если х = 1, то у = 1, если х = -1, то у = -1. 5 Функция убывает при х(−∞, 0),(0, +∞). 6 Функция не ограничена *

Свойства показательной функции 1 D(y)=(−∞, +∞). 2 E(y)=(0 , +∞). 3 Функция ни четная, ни нечетная. 4 Если х = 0, то у = 1. 5 Если а >, 1, то функция возрастает при х(−∞, +∞). Если 0 <, а <, 1, то функция убывает при х(−∞, +∞). y = ax, а >, 0, a ≠ 1 *

Свойства логарифмической функции y = loga x , а >, 0, a ≠ 1 1 D(y)= (0 , +∞). 2 E(y)= (−∞, +∞). 3 Функция ни четная, ни нечетная. 4 Если х = 1 , то у = 0. 5 Если а >, 1, то функция возрастает при х(0, +∞). Если 0 <, а <, 1, то функция убывает при х(0, +∞). *

Свойства функции y = sin x 1 D(y)=(−∞, +∞). 2 E(y)=[−1, 1]. 3 Функция нечетная. 4 Если х = 0, то у = 0. 5 Функция возрастает при Функция убывает при 6 *

Свойства функции y = cos x 1 D(y)=(−∞, +∞). 2 E(y)=[−1, 1]. 3 Функция четная. 4 Если х = 0, то у = 1. 5 Функция возрастает при х[−π+2πn,2πn], nZ. Функция убывает при х[2πn, Π+2πn], где nZ. 6 xmax = 2πn, xmin = π+2πn, где nZ. *

Свойства функции y = tg x 1 D(y)= где nZ. 2 E(y)=(−∞, +∞). 3 Функция нечетная. 4 Если х = 0, то у = 0. 5 Функция возрастает при х где nZ. 6 Экстремумов нет. *

Свойства функции y = ctg x 1 D(y)=(πn, π+πn), где nZ 2 E(y)=(−∞, +∞). 3 Функция нечетная. 4 х ≠ 0, у = 0 если х , где nZ. 5 Функция убывает при х(πn, π+πn), где nZ. 6 Экстремумов нет. *