Презентация по математике на темуЭто известная и неизвестная теорема Пифагора .

«Эта известная и неизвестная теорема Пифагора» Автор: Жуйкова Л.А.

Хронология развития теоремы до Пифагора: № Историческое место дата 1 Древний Китай (математическая книга Чу-пей) ~2400 г. до н. э. 2 Древний Египет (гарпедонапты или натягиватели веревок) 2300 г. до н. э. 3 Вавилон (Хаммураби ) 2000 г. до н. э. 4 Древняя Индия (сборник Сульвасутра ) 600 г. до н. э. 5 Пифагор 570 г. до н. э.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Исторический обзор начнём с древнего Китая… Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: “Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4”.

А далее Древний Египет… Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или натягиватели веревок, строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Индия… В самом древнем индийском геометрическом сборнике «Сульвасутра» («Правила верёвки», 600 год до н.э.), представляющем собой своеобразную инструкцию по сооружению алтарей в храмах, даются правила построения прямых углов при помощи верёвки с узлами, расстояния между которыми равны 15, 36 и 39 падас (мера длины).

Так это вовсе не Пифагор… В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал её полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих Начал.

Теорема в книге рекордов Гиннеса Насчитывается более пятисот доказательств теоремы. Благодаря такому количеству доказательств теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса как теорема с наибольшим количеством доказательств. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.

Приведём различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков. Греческий перевод: У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол. Евклид. Гравюра на меди. Примерно XVIII в.

Латинский перевод: Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э.), сделанный Герхардом Кремонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит: Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол.

Немецкий перевод: В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) теорема читается так: Also, wird das vierecke Feld, gemessen an der langen Wand, so also gross ist als bei beide Vierecke, bei zwei werden gemessen von den zwei Wanden des deren, bei zwei gemeinde, tretten in dem rechten Winkel. В переводе это означает: Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу.

Русская версия теоремы В первом русском переводе евклидовых Начал, сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол.

Современные формулировки теоремы Существует три формулировки теоремы Пифагора: 1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 2. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. 3. Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равносоставлен с квадратами, построенными на катетах.

Теорема Пифагора и способы её доказательства Теорема Пифагора – важнейшее утверждение геометрии. Даже те, кто в своей жизни навсегда «распрощался» с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах». Причина такой популярности теоремы Пифагора объясняется её простотой, красотой, значимостью.

Теорема Пифагора и способы её доказательства Это прямоугольный треугольник КАТЕТ КАТЕТ ГИПОТЕНУЗА

Теорема Пифагора и способы её доказательства На этом свойстве прямоугольного треугольника и основана теорема Пифагора. Она показывает зависимость между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим — И таким простым путем К результату мы придём.

Теорема Пифагора и способы её доказательства 1. Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

Теорема Пифагора и способы её доказательства Доказательство Эйнштейна Дано: ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С, С∈EF, PO||EF, MN||EF, CD⊥EF. Доказать: квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах. Доказательство: Треугольники 1 совпадают при повороте друг друга на 90° ⇒ они равны. Треугольники 2 совпадают при осевом отображении относительно оси EF и параллельном переносе, т.е. они тоже равны. При параллельных переносах и поворотах совпадают и все остальные треугольники, т.е. они тоже равны между собой. Из всего этого следует, что квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах. Теорема доказана.

Теорема Пифагора и способы её доказательства Доказательство Мёльманна Дано: Площадь данного треугольника с одной стороны равна 0,5ab, с другой 0,5pr, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности (r=0,5(a+b-c)). A C

Теорема Пифагора и способы её доказательства Доказательство Мёльманна Доказательство: Имеем: 0,5ab=0,5pr=0,5(a+b+c)·0,5(a+b-c) 0,5ab=0,5(a+b+c)·0,5(a+b-c) аb=0,5(а2 + ab – ac + ab + b2 – bc + ca + cb - с2) аb=0,5(а2 + b2- с2 +2ab)/·2 2аb=а2 + b2- с2 +2ab а2 + b2- с2 =0 Отсюда следует, что с2= а2+b2 Что и требовалось доказать! A C

Занимательная задача по теме: Теорема Пифагора. Древнеиндийская задача Над озером тихим С полфута размером Высился лотоса цвет. Он рос одиноко, И ветер порывом Отнёс его в сторону. Нет Боле цветка над водой. Нашёл же рыбак его Ранней весною В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: “Как озера вода здесь глубока?”

Занимательная задача по теме: Теорема Пифагора. Древнеиндийская задача Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближённо равен 0,3 м) ? Решение. Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5 . Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB2 – AC2 = BC2, (Х + 0,5)2 – Х2 = 22 , Х2 + Х + 0,25 – Х2 = 4, Х = 3,75. Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута. 3, 75 • 0,3 = 1,125 (м) Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.

Практическое применение теоремы Пифагора Считать приложения теоремы Пифагора только теоретическими - большая ошибка. Заметим, что расчёт площади кровли можно заметно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит: Чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на длину какого-нибудь стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила на перекрываемую площадь.

Практическое применение теоремы Пифагора В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром p=b/6.

Легенды об открытии теоремы Пифагора Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение I книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придётся сказать, что эта теорема восходит к Пифагору, рассказывают, что он в честь этого открытия принёс в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя ещё Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики.

Уделом истины не может быть забвенье, Как только мир её увидит взор, И теорема та, что дал нам Пифагор, Верна теперь, как в день её рожденья. За светлый луч с небес вознес благодаренье Мудрец богам не так, как было до тех пор. Ведь целых сто быков послал он под топор, Чтоб их сожгли как жертвоприношенье. Быки с тех пор, как только весть услышат, Что новой истины уже следы видны, Отчаянно мычат и ужаса полны: Им Пифагор навек внушил тревогу. Не в силах преградить той истине дорогу, Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат. О теореме Пифагора

О теореме Пифагора Суть истины вся в том, что нам она-навечно, Когда хоть раз в прозрений её увидим свет, И теорема Пифагора через столько лет Для нас, как для него, бесспорна, безупречна. На радостях богам был Пифагором дан обет: За то, что мудрости коснулся бесконечной, Он сто быков заклал, благодаря предвечных, Моленья и хвалы вознес он жертве вслед. С тех пор быки, когда, учуют, тужась, Что к новой истине людей опять подводит след, Ревут остервенело, так что слушать мочи нет, Такой в них Пифагор вселил навеки ужас, Быкам, бессильным новой правде противостоять, Что остается? - Лишь, глаза закрыв, реветь, дрожать.

И в заключении…  “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень”. Иоганн Кеплер