Пример кейса по математике:Задача о трапеции

пример кейса Подготовила: учитель информатики и ИКТ МБОУ СОШ№37 г. Краснодар Солодухина Э.А.

Задача: На пол была пролита краска. Определить площадь поверхности пятна.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Вопросы для самостоятельного изучения и обсуждения  В ходе занятия формируется несколько групп из числа студентов. Это занятие посвящено обсуждению ситуации в группах и принятию коллективного решения. Предполагается предварительная обработка информации. Далее представляются предложения одобренные в группах и сопоставляются результаты.

Для того чтобы решить поставленную задачу, необходимо выяснить, что из себя представляет пятно? Каким образом можно вычислить его площадь? Почему именно применяя понятия определенного интеграла?

Какие задачи решают с помощью интеграла? Кто ввел знаки производной и интеграла? Что такое криволинейная трапеция? Изобразить фигуру, для вычисления площади которой надо сложить значения соответствующего интеграла. Рассказать о способе отыскания площади фигуры, составленной из двух не перекрывающих друг друга криволинейных трапеций. Как вычислить площадь фигуры, если она ограничена графиком функции р(х), где р(х)<,0? Какое свойство площадей надо использовать при вычислении площадей фигур, имеющих сложную конфигурацию Как называют формулу для нахождения площади криволинейной трапеции? Вывести формулу для вычисления площади фигуры, составленной из неперекрывающихся криволинейных трапеций. Вывести формулу для вычисления площади фигуры, полученной как разность криволинейных трапеций, которые образованы графиками функций, принимающих только положительные значения. Вывести формулу для вычисления площади криволинейной трапеции, расположенной на отрицательной полуплоскости.

Оно представляет собой криволинейную трапецию, площадь которой вам и придется искать. В действительности, для того чтобы находить площадь фигуры не надо так уж много знаний по неопределенному и определенному интегралу. Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа, поэтому гораздо более актуальным вопросом будут ваши знания и навыки построения чертежей. В этой связи полезно освежить в памяти графики основных элементарных функций, а, как минимум, уметь строить прямую, параболу и гиперболу.

Криволинейной трапецией  называется фигура, которая ограничена графиком непрерывной, неотрицательной функции f(x) на промежутке [a,b], отрезками прямых x=a и x=b, а также отрезком оси абсцисс между точками a и b.

Чтобы перейти к решению нашей задачи необходимо рассмотреть возможные варианты расположения фигур, площадь которых надо вычислить на координатной плоскости.

Студентам предлагаются только изображения фигур, которые они самостоятельно должны рассмотреть и описать

Ответы для обсуждения и проверки работы студентов

Первым будет самый простой вариант (первый рисунок), обычная криволинейная трапеция, как в определении. Здесь ничего не надо придумывать просто берём интеграл от a до b от функции f(x). Найдём интеграл - будем знать и площадь данной трапеции. 1 тип

Во втором варианте наша фигура будет ограничена не осью абсцисс, а другой функцией g(x). Поэтому, что бы найти площадьCEFD, нам надо сначала найти площадь AEFB (с помощью интеграла от f(x)), потом найти площадь ACDB (с помощью интеграла от g(x)). И искомая площадь фигуры CEFD, будет разница между первой и второй площадями криволинейной трапеции. Поскольку границы интегрирования здесь одинаковые, то это всё можно записать под одним интегралом (смотрите формулы под рисунком) всё зависит от сложности функций, в каком случае проще будет найти интеграл. 2 тип

Третий очень похож к первому, но только наша трапеция размещена, не над осью абсцисс, а под ней. Поэтому здесь надо брать такой же интеграл, только со знаком минус, потому что значение интеграла будет отрицательным, а значение площади должно быть положительное. Если вместо функции f(x) взять функцию –f(x), то её график будет такой же просто симметрически отображен относительно оси абсцисс. 3тип

И четвёртый вариант, когда часть нашей фигуры находится над осью абсцисс, а часть под ней. Поэтому нам надо сначала найти площадь фигуры AEFB, как в первом варианте, а потом площадь фигуры ABCD, как в третьем варианте и потом сложить их. В итоге мы получим площадь фигуры DEFC. Поскольку границы интегрирования здесь одинаковые, то это всё можно записать под одним интегралом (смотрите формулы под рисунком) всё зависит от сложности функций, в каком случае проще будет найти интеграл. 4 тип

Мы рассмотрели наиболее простые варианты, но теперь вернемся к нашей задаче. Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу  .   У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл.

Рассмотрим наш рисунок, который похож на те, что мы рассмотрели. На нём мы видим четыре разных функции и плоскость, которую они ограничат. Что бы найти её плоскость нам надо рассмотреть каждую её часть, которая соответствует одной функции.

Начнём с функции f(x) здесь нам надо искать интеграл от a до b, но при этом остаются небольшие уголки, площадь которых надо вычесть, что осталась только искомая площадь. Если взять функцию g(x), то видим, что она нам поможет найти площадь части фигуры, которая расположена под осью абсцисс, не забываем про знак минус для этой части интеграла. Также помним, что мы должны были вычесть один из уголков, который расположен под графиком этой функции. Поэтому в нас выходит интеграл со знаком минус от функции g(x)с границами от a до d. Следующей возьмём функцию v(x), видим, что здесь надо брать интеграл от b до c. Но видим, что наша фигура ограничивается не осью OX, а функцией u(x) поэтому надо ещё вычесть ту часть плоскости, которая попадает в этот интервал [b, c] и расположена между осью OX и графиком функции u(x). И последней рассмотрим функцию u(x), видим, что она нам поможет найти вторую часть фигуры, что расположена нижеоси абсцисс, а также помним, что мы должны вычесть ту часть площади, которая находится между осью OX и графиком функции u(x) до с. Поэтому, как и со второй функцией будем иметь интеграл со знаком минус, но теперь от функции u(x) и с границами от d до c.

Наш ответ:

Вспомогательные вопросы для преподавателя к обсуждению и оцениванию студентов  Задавая вопросы, преподаватель направляет внимание студентов на определенную информацию, провоцируя их ответы. Он может даже уточнить какие аналитические методы должны быть использованы. Руководя дискуссией, преподаватель контролирует ее направление, добиваясь участия каждого студента. Он может закончить дискуссию, очертив контур найденного группой решения.

Попробуйте понять, для чего лично Вам может пригодиться сегодняшнее занятие? Какие у Вас общие интересы, какие возможные выгоды от вашей совместной работы Вы способны почерпнуть? Вы сами сталкивались когда-либо с подобной проблемой? Воспользовались бы Вы сами подсказками и советами со стороны? Что хотят проверить составители подобных заданий? Можно ли, проанализировав задачу, подготовиться к решению целого набора заданий? Какая литература была использована?   Кто принимал решение в вашей группе? Какие варианты решения имел тот, кто принимал решение? Была ли на него возложена основная работа? Справились ли вы с поставленной целью в решении конкретной задачи?

Творческо-самостоятельное задание на обобщение знаний. Особая задача «Задача о каше»: Сережа насыпал в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросил соседку: «Сколько нужно налить воды, чтобы получилась вкусная каша?» «Это очень просто, - ответила соседка, – наклони кастрюлю, постучи, чтобы крупа пересыпалась и закрыла ровно половину дна. Теперь заметь точку на стенке кастрюли у края, до которого поднялась крупа, и зажми ее пальцем. До этого уровня надо налить воду!» – «Так ведь пшена можно насыпать побольше или поменьше, да и кастрюли бывают разные – широкие узкие», – усомнился Сережа. «Все равно, мой способ годится в любом случае», - гордо ответила т. Люда»

Используя определенный интеграл, запишите формулы для вычисления площадей фигур, заштрихованных на рисунке.