Презентация предел функции 11 класс

Понятие предела функции →

Рассмотрим функцию y= f(x). Определенную для всех х >,М, где М некоторое неотрицательное число. Пределом функции y= f(x), при х →+∞ является число А, если из того, что х неограниченно возрастает, следует, что соответствующее значение функции стремится к А, т.е. f(x) → А, если х →+∞ . х →а

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Рассмотрим функцию y= f(x). Она определена в некоторой окрестности точки x=a, за исключением, может быть, самой точки а. Т. е. пусть она определена для каждого а, удовлетворяющего неравенствам а- δ <,x <, а+δ , при некотором δ >, 0

Определение  Пусть функция f, принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точки x=a, кроме, быть может, самой точки a.  Функция f имеет предел в точке a, равный А, если из того, что х →а, оставаясь в окрестности точки а, следует, что соответствующие значения функции стремятся к А, т. е. если f(х)→А при x → а. При этом пишется

Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция (хα),   показательная функция (ax), тригонометрические функции  (sinx, cosx, tgx и ctgx) и обратные тригонометрические функции  (arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx) во всех внутренних точках своих областей определения имеют пределы, совпадающие с их значениями в этих точках.

Примеры функций, имеющих предел в точке у= x2 Предел функции   при x → 2 равен 4 (при x → 2 значения функции → 4). Предел функций  при x → 0 равен 0.

Примеры функций, не имеющих предел в точке

Предел функции  справа Число A называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого х, удовлетворяющего неравенствам а <, х<, а+δ при δ >, 0 При х приближающихся к а справа, значения функции стремятся к А

Односторонние пределы Число В называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого х, удовлетворяющего неравенствам а - δ <, х<, а при δ >, 0 При х приближающихся к а слева, значения функции стремятся к В Функция, определённая в некоторой окрестности точки, имеет предел в точке, если её предел справа равен пределу слева. Предел функции  слева

Замечательные пределы первый замечательный предел второй замечательный предел

Свойства предела функции в точке Если функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы в точке a, причем      То  если B ≠ 0 и если g (x) ≠ 0 в δ-окрестности точки a.

Вычисление предела функции в точке Найдем Предел числителя Предел знаменателя . Используя теорему о пределе частного, получим Сначала просто пытаемся подставить число в функцию

Найдем Предел числителя Предел знаменателя равен нулю, поэтому теорему о пределе частного применять нельзя. Величина 1/(x-3) является бесконечно большой величиной при x→3. Тогда

Раскрытие неопределенности При нахождении предела иногда сталкиваются с неопределенностями вида Отыскание предела в таких случаях называется раскрытием неопределенности. Для того, чтобы раскрыть неопределенность ∞/∞ необходимо разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени.     Разделим числитель и знаменатель на  х2

Разделим числитель и знаменатель на х4

Разделим числитель и знаменатель на  х2  подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.   Таким образом, при раскрытии неопределенности может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Вычислить предел  Сначала попробуем подставить -1 в дробь:  В данном случае получена так называемая неопределенность 0/0 Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенность вида 0/0, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Очевидно, что можно сократить на  (х+1) : Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение Найти предел  Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела.  Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.     Получена неопределенность вида 0/0 , которую нужно устранять

Примеры