Презентация для кружка по математике на тему Остров рыцарей и лжецов (6-7 класс)

Кружок олимпиадной математике в 6-7 классе Тема: Остров рыцарей и лжецов Занятие 1. Учитель: Гранкина Наталья Юрьевна Школа: ГАОУ ТО “ФМШ”, г. Тюмень

В задачах, которые мы будем решать сегодня, фигурируют люди двух типов - “рыцари”, которые всегда говорят правду, и “лжецы”, которые всегда лгут.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Вопросы на засыпку Как, задав один вопрос, определить, кто перед вами - рыцарь или лжец? Вы спросили у человека с острова “Кто ты: рыцарь или лжец?”. Что он ответит? Мог ли человек с острова сказать: “Я - лжец”?

Ответы Как, задав один вопрос, определить, кто перед вами - рыцарь или лжец? Например, спросить: “Ты - человек?” или “Дважды два - четыре?” Рыцарь скажет “да”, а лжец “нет”. Вы спросили у человека с острова “Кто ты: рыцарь или лжец?”. Что он ответит? Кто бы ни был этот человек, он скажет: “Я - рыцарь”. Рыцарь скажет про себя правду, а лжец солжет про себя. Мог ли человек с острова сказать: “Я - лжец”? Нет, никто не скажет, что он лжец.

Задача 1 На острове рыцарей и лжецов собралась компания из людей разного роста. Каждый заявил “Среди тех, кто выше меня, есть лжецы”. Сколько лжецов могло быть среди них?

Задача 1 На острове рыцарей и лжецов собралась компания из людей разного роста. Каждый заявил “Среди тех, кто выше меня, есть лжецы”. Сколько лжецов могло быть среди них? Самый высокий - точно лжец (ведь выше него вообще никого нет, а значит и лжецов среди них нет) Любой кто ниже него, автоматически говорит правду - значит он рыцарь Лжец - один (самый высокий), все остальные - рыцари (сколько угодно) Решение

Задача 2 На острове Невезения собрались рыцари и лжецы, причем как рыцарей, так и лжецов не меньше, чем по двое. Каждый присутствующий указал на каждого из оставшихся и произнес: «Ты – рыцарь!» или «Ты – лжец!». Высказываний «Ты – лжец!» было ровно 70. Сколько было высказываний «Ты – рыцарь!»?

Задача 2 На острове Невезения собрались рыцари и лжецы, причем как рыцарей, так и лжецов не меньше, чем по двое. Каждый присутствующий указал на каждого из оставшихся и произнес: «Ты – рыцарь!» или «Ты – лжец!». Высказываний «Ты – лжец!» было ровно 70. Сколько было высказываний «Ты – рыцарь!»? Пусть Рыцарей - а штук, Лжецов - b штук. “Ты лжец” говорят рыцари ->, лжецам и лжецы ->, рыцарям. Всего таких высказываний a*b+b*a = 2ab = 70 Значит либо a=5 b=7, либо наоборот a=7 b=5 “Ты рыцарь” говорят рыцари ->, рыцарям и лжецы ->, лжецам Всего таких высказываний a*(a-1) + b*(b-1) = 7*6+5*4 = 62 Решение

За круглым столом сидят 100 человек, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец. Каждый из сидящих за столом произнес фразу: Рядом со мной сидит больше лжецов, чем напротив меня. Докажите, что за столом сидит четное число рыцарей. Задача 3

Задача 3 За круглым столом сидят 100 человек, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец. Каждый из сидящих за столом произнес фразу: Рядом со мной сидит больше лжецов, чем напротив меня. Докажите, что за столом сидит четное число рыцарей. Если напротив каждого рыцаря сидит рыцарь, то они разбиваются на пары, а значит количество рыцарей - четное. Если же найдется рыцарь, напротив которого сидит лжец, рассмотрим их и их соседей. Соседи рыцаря - два лжеца, соседи лжеца - два рыцаря. Получили новые пары Рыцарь - Лжец. Повторяем пункт 3. При рассмотрении возможностей получаем, что единственный возможный способ - чередование рыцарей и лжецов (по кругу) - а значит их по 50, тоже четное. Решение

По кругу стоят несколько рыцарей и лжецов, все они разного роста. Каждый из стоящих произнёс фразу: «Я выше ровно одного из своих соседей». Могло ли среди стоящих по кругу быть ровно 7 лжецов? Задача 4

Задача 4 По кругу стоят несколько рыцарей и лжецов, все они разного роста. Каждый из стоящих произнёс фразу: «Я выше ровно одного из своих соседей». Могло ли среди стоящих по кругу быть ровно 7 лжецов? Лгут “карлики” - те, кто ниже обоих соседей, и “гиганты”- те, кто выше обоих соседей Если соединить головы людей плавной линией, то получится волна. В волне чередуются ее пики - высшие точки и низшие точки - которые соответствуют “гигантам” и “карликам” Значит “карлики” и “гиганты” чередуются. Значит всего их, то есть лжецов, четное. Решение

На острове живут рыцари и лжецы. В ряд стоят 99 островитян. Каждый из них произнёс две фразы: «Рядом со мной стоит лжец». «Рядом со мной стоят два лжеца». Сколько в этом ряду рыцарей? Задача 5

Задача 5 На острове живут рыцари и лжецы. В ряд стоят 99 островитян. Каждый из них произнёс две фразы: «Рядом со мной стоит лжец». «Рядом со мной стоят два лжеца». Сколько в этом ряду рыцарей? Первый в ряду точно лжец (ведь вторая фраза - ложь) Значит второй точно рыцарь (ведь первая фраза - истина) А третий опять лжец (ведь около рыцаря должно было быть два лжеца) и т.д Получаем, что на нечетных местах - лжецы, а на четных - рыцари. Рыцарей - 49. Решение