Проект Способы решения квадратных уравнений (8 класс).

Тема работы: Способы решения квадратных уравнений

Цель моей работы: Систематизировать и обобщить стандартные и нестандартные методы решений квадратных уравнений и использовать полученные данные в разных разделах математики.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Одной из базовых тем школьного курса математики являются квадратные уравнения и одним из основных навыков, которые должен приобрести ученик - умение решать квадратные уравнения. В своей работе я рассмотрела семь способов решения квадратных уравнений, два из них являются стандартными и рассматриваются в курсе математики средней школы, остальные относятся к так называемым нестандартным методам решения квадратных уравнений.

1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение: Ответ: 1, 3.

2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата. Решим уравнение: 1 вариант. 2 вариант. Ответ: 3, 1.

3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле. 4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0, ((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0, (2ax + b)2 = b2 - 4ac, Выведем формулу для нахождения корней квадратного уравнения по коэффициентам a, b и c. где

Примеры: D = b2 - 4ac = (-5)2 - 4 • 6 • (-1) = 25 +24 = 49, а = 6, b = -5, с = -1, D >, 0, уравнение имеет два разных корня, , , Ответ: .

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета. = и Итак, Найдем сумму и произведение корней:

1) x2 – 4x + 3 = 0, x1 = 3 и x2 = 1, так как q = 3 >, 0 и p = -4 <, 0, 2) x2 + 8x + 12 = 0, x1 = - 6 и x2 = - 2, так как q = 12 >, 0 и p = 8 >,0. Примеры:

Рассмотрим квадратное уравнение , где а ≠ 0. Умножив обе части данного уравнения на , получим уравнение, равносильное данному: . Приходим к приведенному квадратному Обозначим тогда, уравнению с переменной y: у2 + by + ас = 0. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно имеем: 5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».

Пример: Решим уравнение . Решение. «Перебросим» коэффициент 6 к свободному члену, в результате получим уравнение у2 – 5у – 6 = 0. Согласно теореме Виета . Ответ: 1, -1/6.

Если в приведенном квадратном уравнении второй и третий члены в правую часть, то получим х2 = - px - q. 6. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения. Для того чтобы решить данное уравнение графически необходимо в одной системе координат простроить графики функций стоящие в левой и правой частях уравнения, то есть у = х2 и у = - px - q. перенести

Примеры: 1) Решим графически уравнение х2 - 3х - 4 = 0 . Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4. Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0, 4) и N (3, 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссам и х1 = - 1 и х2 = 4 (рис. 2). Ответ: х1 = - 1, х2 = 4.

7. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. Если окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х1,0) и D (х2,0), где х1 и х2 - корни уравнения , и проходит (для определенности) через точку А(0, 1). Тогда по теореме о секущих , откуда Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому Следовательно, центр окружности имеет координаты .

Решим уравнение х2 - 3х - 4 = 0. Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам: Проведем окружность радиуса SA с центром в точке S, где А (0, 1), S(1,5, -1,5). Окружность имеет две точки пересечения с осью Ох (рис. 7), значит данное уравнение имеет два корня. Абсциссы точек пересечения окружности с осью Ох будут корнями исходного уравнения. Ответ: х1 = - 1, х2 = 4.

Экспериментально - Исследовательская часть

Вопросы анкетирования: Какой способ показался вам более легким (удобным): Разложение левой части уравнения на множители. Метод выделения полного квадрата Решение квадратных уравнений по формуле Решение уравнений с использованием теоремы Виета. Решение уравнений способом «переброски». Графическое решение квадратного уравнения. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки . ІІ. Какой нестандартный способ решения квадратных уравнений, вы бы включили в школьную программу.

Результаты исследований

Чтобы вы включили в школьный курс алгебры?

Калькулятор решения квадратных уравнений

Подводя итоги, можно сделать вывод, что квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. А моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика. В своей работе я постаралась показать, что процесс решение квадратных уравнений может быть очень интересным, увлекательным занятием, что для того чтобы решить квадратное уравнения не обязательно знать формулу дискриминанта и теорему Виета, вполне можно обойтись знаниями полученными в 7-8 классах, достаточно уметь: - раскладывать на множители многочлен способом группировки - выделять полный квадрат из трехчлена - строить график квадратичной и линейной функций. Я хотела показать разнообразие математических методов, неординарность, красоту и простоту (доступность) некоторых способов решения. Вывод: